Dato un sistema formato da 2 serbatoi cilindrici ($A$ e $B$) della stessa forma collegati da una tubazione di diametro $\phi$. Il livello in $A$, denominato $h_A$, è maggiore di $h_B$. I livelli son tenuti costanti dalla portata $G$ che, in condizioni stazionarie, entra in $A$ ed esce in $B$. Note quindi le altezze, la portata, la lunghezza della tubazione $L$, il diametro e $G$, calcolare la differenza di altezze $h_a-h_b$. (immagine allegata)
Proporrò ben 3 metodo risolutivi...purtroppo per qualche ragione danno 3 risultati un pochetto diversi
Intanto trovo la velocità del fluido nella tubazione $v=\frac{G}{\pi \phi^2/4}$, questo punto è comune a tutti i procedimenti.
Metodo 1)
Applicando un bilancio di energia su un tubo di flusso che parte dal fondo sinistro del serbatoio $B$, ove il fluido è statico, fino alla tubazione ottengo:
\[
(1/2)v^2 + (1/\rho)(P_B-P_B')=(1/2)v^2 \cdot (1)
\]
Dove $P_B'=P_{atm} + \rho g h_B$ calcolata con Stevino. Il termine $1$ è il coefficiente di dissipazione energetica per uno sbocco. Otteniamo quindi: \[ \boxed{P_B=\rho g h_B + P_0} \]
Con un bilancio di energia del tutto analogo, ma dall'altra parte del sistema (in $A$), si ottiene l'equazione:
\[
-(1/2)v^2+(1/\rho)(P_A'-P_A)=(1/2)v^2 \cdot 0.45
\]
Dove $0.45$ è il coefficiente di dissipazione energetica per un imbocco e $P_A'=\rho g h_A+P_0$. Risolvendo otteniamo: \[ \boxed{P_A=\rho g h_A + P_0 - (1.45/2) \rho v^2} \]
Adesso applico un bilancio di energia che parte dal pelo libero di $A$ fino al punto $J$.
\[
-(1/2)v^2+g(h_A)+(1/\rho)(P_0-P_B)=[4fL/\phi + 1 + 0.45](1/2)v^2
\]
Sostituendo i valore della pressione $P_B$ trovata all'inizio, ottengo:
\[
h_A-h_B=\frac{v^2}{2g}[4fL/\phi + 2.45]
\]
Metodo 2)
Scrivo il Bernoulli per un tubo di flusso che parte dal punto $K$ fino al pelo libero di $B$. E successivamente scrivo pure il bilancio per un tubo di flusso che parte dal pelo libero di $A$ e arriva fino al punto $J$:
\[
(1/2)v^2-gh_B+(1/\rho)(P_A-P_0)=[4fL/\phi+1+0.45](1/2)v^2
\]
\[
-(1/2)v^2+g(h_A)+(1/\rho)(P_0-P_B)=[4fL/\phi + 1 + 0.45](1/2)v^2
\]
Rinonimo il termine $[4fL/\phi + 1 + 0.45]=\alpha$ per snellire la notazione. Sommo le due equazioni membro a membro ottenendo:
\[
g(h_A-h_B) + (1/\rho)(P_A-P_B)=\alpha v^2
\]
Se qua sostituisco i valori delle pressioni trovate all'inizio nel metodo (1) trovo:
\[
h_A-h_B=\frac{v^2}{2g}[4fL/\phi + 2.175]
\]
Metodo 3)
Applico un bilancio tra il punto $K$ e il punto $J$:
\[
(1/\rho)(P_A-P_B)=[4fL/\phi + 1 + 0.45](1/2)v^2=(1/2)\alpha v^2 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: P_A-P_B=(1/2)\rho \alpha v^2
\]
Sostituisco nell'equazione "somma" trovata nel metodo (2) (questa qua: $g(h_A-h_B) + (1/\rho)(P_A-P_B)=\alpha v^2$) e ottengo:
\[
h_A-h_B=\frac{v^2}{2g}[4fL/\phi + 1.45]
\]
Sembra quasi un indovinello
Chi riesce a scovare l'errore? Grazie per aver letto fin qua! Buona fisica!
