Esercizio sui corpi rigidi

[m.e._liberti]

Ciao a tutti. Vi propongo questo problema del Rosati:
Un'asta omogenea di lunghezza l, massa m e sezione trasversale di dimensioni trascurabili, ha un'estremità incernierata nel punto C di un sostegno rigido solidale con un carrello libero di muoversi senza attrito su di una superficie orizzontale. L'asta può ruotare nel piano verticale in modo completo. Il carrello e la struttura in cui è incernierata
l'asta hanno massa complessiva M. Inizialmente il sistema è fermo e l'asta forma un angolo \alpha rispetto all'orizzontale. Ad un certo istante t=0 l'asta viene lasciata libera di muoversi. Tutti gli attriti sono trascurabili. Si determini:
a) lo spostamento del carrello rispetto alla posizione iniziale, $d_1$, e la velocità angolare dell'asta, $w_1$, quando l'asta si trova per la prima volta in posizione orizzontale (t=$t_1$);
b) allo stesso istante quanto vale l'accelerazione, $A_1$, del carrello;
c) il modulo della velocità del carrello, $V_2$, quando l'asta passa per la prima volta in posizione verticale (t=$t_2$).
In seguito l'immagine del sistema con i dati:



I primi due punti sono riuscita a svolgerli, l'ultimo no. Il Rosati lo svolge con la conservazione dell'energia eseguendo un processo di integrazione all'energia cinetica dell'asta. C'è un altro modo per ricavarla? Lo chiedo perché non ho mai fatto un passaggio del genere durante il mio corso di fisica.

[Noodles]

Intanto, per la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi applicata all'asta:

$vecv_G=vecv_C+vec\omegaxx(G-C)$

la velocità del suo centro di massa è necessariamente orizzontale. Inoltre, orientando un asse orizzontale verso destra:

$v_G=v_C-1/2l\omega rarr$

$rarr v_G=V_2-1/2l\omega rarr$

$rarr v_G=V_2-1/2\omega$

Infine, per risolvere il sistema di 3 incognite, non resta che scrivere altre 2 equazioni:

Conservazione della quantità di moto orizzontale del sistema

$0=MV_2+mv_G rarr$

$rarr 0=20V_2+2v_G$

Conservazione dell'energia meccanica del sistema

$1/2l(sin\alpha+1)=1/2MV_2^2+1/2mv_G^2+1/2I_G\omega^2 rarr$

$rarr 1/2l(sin\alpha+1)=1/2MV_2^2+1/2mv_G^2+1/24ml^2\omega^2 rarr$

$rarr 1/2(sqrt3/2+1)=10V_2^2+v_G^2+1/12\omega^2$

Concludendo:

$\{(v_G=V_2-1/2\omega),(0=20V_2+2v_G),(1/2(sqrt3/2+1)=10V_2^2+v_G^2+1/12\omega^2):} rarr$

$rarr \{(\omega=22V_2),(v_G=-10V_2),(1/2(sqrt3/2+1)=10V_2^2+100V_2^2+121/3V_2^2):} rarr$

$rarr V_2=3/1804(sqrt3+2)$

[m.e._liberti]

Intanto, per la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi applicata all'asta:

$vecv_G=vecv_C+vec\omegaxx(G-C)$

la velocità del suo centro di massa è necessariamente orizzontale. Inoltre, orientando un asse orizzontale verso destra:

$v_G=v_C-1/2l\omega rarr$

$rarr v_G=V_2-1/2l\omega rarr$

$rarr v_G=V_2-1/2\omega$

Infine, per risolvere il sistema di 3 incognite, non resta che scrivere altre 2 equazioni:

Conservazione della quantità di moto orizzontale del sistema

$0=MV_2+mv_G rarr$

$rarr 0=20V_2+2v_G$

Conservazione dell'energia meccanica del sistema

$1/2l(sin\alpha+1)=1/2MV_2^2+1/2mv_G^2+1/2I_G\omega^2 rarr$

$rarr 1/2l(sin\alpha+1)=1/2MV_2^2+1/2mv_G^2+1/24ml^2\omega^2 rarr$

$rarr 1/2(sqrt3/2+1)=10V_2^2+v_G^2+1/12\omega^2$

Concludendo:

$\{(v_G=V_2-1/2\omega),(0=20V_2+2v_G),(1/2(sqrt3/2+1)=10V_2^2+v_G^2+1/12\omega^2):} rarr$

$rarr \{(\omega=22V_2),(v_G=-10V_2),(1/2(sqrt3/2+1)=10V_2^2+100V_2^2+121/3V_2^2):} rarr$

$rarr V_2=3/1804(sqrt3+2)$

Grazie innanzitutto per la tua risposta, ma chi è $v_G$? Potresti chiarirmi cosa accade "fisicamente"?

[mgrau]

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[Noodles]

... ma chi è $v_G$?

La velocità del centro di massa dell'asta, del punto medio per intenderci.

Potresti chiarirmi cosa accade "fisicamente"?

Premesso che, in assenza di forze dissipative, l'energia meccanica del sistema si conserva, poichè le uniche forze esterne al sistema sono la forza peso dell'asta, la forza peso del carrello e della struttura e la reazione vincolare che il piano orizzontale esercita sul carrello e la struttura, tutte dirette lungo la verticale, la quantità di moto del sistema lungo la direzione orizzontale si conserva. Più intuitivamente, poichè la quantità di moto iniziale del sistema è nulla:
1. Quando il movimento dell'asta comporta una velocità del suo centro di massa la cui componente orizzontale è diretta verso destra, la velocità del centro di massa del carrello e della struttura è diretta verso sinistra.
2. Quando il movimento dell'asta comporta una velocità del suo centro di massa la cui componente orizzontale è diretta verso sinistra, la velocità del centro di massa del carrello e della struttura è diretta verso destra.
Infine, per quanto riguarda la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, poichè il discorso sarebbe un po' troppo lungo, delle due l'una:
1. Ammesso e non concesso che tu la sappia applicare, la prendi per buona.
2. Dovendo o volendo approfondire, procurati il materiale che ti consenta di farlo.