Esercizio Fisica 2 Campo magnetico all'interno di un condensatore

[tkomega]

Determinare l’espressione del campo magnetico che si genera all’inter-
no di un condensatore piano circolare in cui è presente un dielettrico
diamagnetico di costante dielettrica relativa $ k=3 $ quando il condensa-
tore si sta caricando. Si assuma che i piatti del condensatore hanno
raggio pari a $ r = 5 mm $ , che la separazione tra i due piatti è pari a
$ d = 0.1 mm $ e che il condensatore si carichi in maniera uniforme nel
tempo $ t = 1s $ da $ Q0 = 0 $ a $ Q1 = 1μC $ . Si determini il campo in funzione
della distanza dal centro del condensatore e si indichi il verso del campo
magnetico (orario o antiorario in base alla figura e alle scelte fatte per
l’orientamento del campo elettrico). Si assuma che il condensatore di
carichi linearmente in funzione del tempo.

Ho gia svolto lo stesso esercizio dove però veniva richiesto il campo all'esterno del condensatore,
come mi muovo nel caso in cui invece il campo si generi all'interno come in questo caso?

[RenzoDF]

Devi semplicemente considerare che il campo magnetico sarà funzione della generica distanza r del punto dall'asse del condensatore e sarà generato dalla frazione della corrente di spostamento che attraversa la sezione circolare di raggio r, ovviamente nell'intervallo 0<r<R.
Sostanzialmente B sarà funzione lineare del raggio, come avviene all'interno di un qualsiasi conduttore, nell'ipotesi di densità di corrente uniforme.

[tkomega]

Devi semplicemente considerare che il campo magnetico sarà funzione della generica distanza r del punto dall'asse del condensatore e sarà generato dalla frazione della corrente di spostamento che attraversa la sezione circolare di raggio r, ovviamente nell'intervallo 0<r<R.
Sostanzialmente B sarà funzione lineare del raggio, come avviene all'interno di un qualsiasi conduttore, nell'ipotesi di densità di corrente uniforme.

Quindi posso sfruttare la legge di ampere per calcolare il campo magnetico all'interno del condensatore con il campo che dipende dal raggio r ?
$ oint_(B) vecBdvecl=B*2pir=mu_(0)I<=> B=(mu_0I)/(2pir) $
con 0<r<R

[RenzoDF]

... Quindi posso sfruttare la legge di ampere per calcolare il campo magnetico all'interno del condensatore...

Sì, ma come ti ho detto devi considerare solo la corrente di spostamento che attraversa la seziono di raggio r, che è una frazione della corrente totale di conduzione I e non tutta la I, che si userà invece per r>R.

Ci sono due strade risolutive percorribili, una più lunga che, visti i dati forniti, è chiaramente quella ipotizzata dall'estensore del problema e che passa per il campo elettrico, e una brevissima che passa direttamente dalla corrente di conduzione, ma per esercitarti potresti percorrerle entrambe.

[tkomega]

... Quindi posso sfruttare la legge di ampere per calcolare il campo magnetico all'interno del condensatore...

Sì, ma come ti ho detto devi considerare solo la corrente di spostamento che attraversa la seziono di raggio r, che è una frazione della corrente totale di conduzione I e non tutta la I, che si userà invece per r>R.

Ci sono due strade risolutive percorribili, una più lunga che, visti i dati forniti, è chiaramente quella ipotizzata dall'estensore del problema e che passa per il campo elettrico, e una brevissima che passa direttamente dalla corrente di conduzione, ma per esercitarti potresti percorrerle entrambe.

Dunque se devo considerare unicamente la corrente di spostamento:
$ oint_(B) vecBdvecl=mu_0epsilon_0 d/dtphi_E =mu_0epsilon_0intintvecEvecds=mu_0epsilon_0Epir^2 $
Ma come me ne esco poi? Il problema mi fornisce la quantità di carica nell'unita di tempo quindi mi verrebbe in mente di sfruttare $ I=dQ/dt = 10muC / 1 s = 10^(-6) A $ ma nella circuitazione del campo magnetico considerando solo la corrente di spostamento non è utile in questo caso

[RenzoDF]

La corrente I nell'intervallo di tempo 0<t<1 s è costante e pari a 1uA, e così risulterà anche la corrente di spostamento internamente al condensatore. Ne segue che la corrente di spostamento attraverso la sezione di raggio r sarà

$i_s=I*r^2/R^2$

e da questa, usando Ampere, otterrai il campo

$B(r)=\mu_0 i_s/(2 \pi r)$

Alternativamente, come ti dicevo, esiste anche un percorso risolutivo più lungo (e non "conveniente" dal punto di vista del calcolo), ovvero puoi passare dal campo elettrico \(E=V/d\), relazione nella quale la tensione V salirà linearmente nel tempo così come Q e quindi come E, e di conseguenza potrai ottenere la corrente di spostamento dalla derivata del flusso di E attraverso la generica sezione $S=\pi r^2$.

[tkomega]

Ok, e dunque l'espressione finale del campo magnetico all'interno del condensatore, dipendente dal raggio r con 0<r<R vale:
$B(r)=\mu_0 i_s/(2 \pi r) = mu_0 (I * (r^2/R^2))/(2pi r) = (mu_0Ir)/(2piR^2)$

[RenzoDF]

Ora potresti provare a percorrere la seconda "strada".

BTW Non ha senso quotare tutto un precedente messaggio; puoi cancellare quel quoting integrale?

... usa RISPONDI non CITA

[tkomega]

SI, anche se non sto cosa significhi btw