problema di dinamica

[samurd]

Buonasera, chiedo aiuto per il seguente esercizio di fisica:

Una pallina di massa $m = 100 g$ e di dimensioni trascurabili viene lanciata con velocità orizzontale $v_0$ incognita lungo un piano orizzontale. Dopo un certo tratto incontra una discesa a forma di arco di circonferenza, avente raggio $R = 70 cm$. Sapendo che la pallina si stacca quando raggiunge l’angolo $alpha = 30°$ mostrato in figura, calcolare $v_0$ trascurando ogni attrito e l’andamento della reazione vincolare in funzione $N(alpha)$, rappresentandolo su un grafico.
n.b dovrebbe venire $2,03 m/s$



io ho provato cosi, ma il risultato non coincide:

usando la conservazione dell'energia meccanica

nell'istante iniziale ho solo energia cinetica $K=1/2*m*v_0^2$

nell'istante finale ho solo energia potenziale $U=m*g*h$
con $h=R-R*cos(alpha)$ ovvero la quota in cui si stacca la pallina

risolvo per v_0 ponendo $K=U$

qui viene un risultato diverso da quello atteso ma non saprei dove ho sbagliato, grazie mille in anticipo!

[RenzoDF]

Nell'istante "finale" l'energia potenziale è diminuita della quantità da te indicata ... e dove sarà finita?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

... probabilmente a incrementare l'energia cinetica, ma come ben sai, per potersi muovere su quella traiettoria circolare l'accelerazione \(v_f^2/R\) dovrà soddisfare una certa condizione ...

[samurd]

Quindi nell'istante finale avrò energia potenziale $U=m*g*h$ e energia cinetica $K_f=1/2*m*v_f^2$ con condizione su vf imponendo che la forza centrifuga sia maggiore della componente normale del peso?

[RenzoDF]

No, quella variazione $\Delta U=mgh$ di energia potenziale sarà andata ad incrementare l'energia cinetica iniziale.

$1/2mv_f^2=1/2mv_o^2+mgh$

dopo di che userai la condizione che hai indicato per il distacco.

[samurd]

si ovviamente prendendo come 0 il piano iniziale l'energia potenziale finale risulterà negativa,

provando a risolverlo in questo modo viene:

l'energia meccanica nell'istante iniziale e finale risulta
$E_(m,i)=1/2*m*v_0^2$
$E_(m,f)=1/2*m*v_f^2-m*g*h$ con $h=R*(1-cos(alpha))$

imponendo la condizione di distacco:
$F_c=P*cos(alpha)$
con $F_c$=forza centrifuga e $P$= forza peso

da cui: $m*v_f^2/R=m*g*cos(alpha)$
e $v_f=(R*g*cos(alpha))^(1/2)$

infine imponendo la legge di conservazione dell'energia meccanica:

$1/2*m*v_0^2=1/2*m*v_f^2-m*g*h$

ricavo $v_0$ che viene $2,03 m/s$

grazie mille!

[RenzoDF]

Dalla

$ v_o^2= v_f^2-2gh$

usando

$v_f^2=R g cos \alpha$

$v_o^2=Rg (3\cos \alpha-2)$

... vedo solo ora che hai corretto.