esercizio bernoulli

[giantmath]

Alla base di un recipiente cilindrico aperto contenente un fluido ideale, viene praticato un foro la cui sezione è l’1% di quella del recipiente. Se l’altezza del fluido è 1 m, calcolare il tempo necessario per lo svuotamento del recipiente. Si supponga che la velocità sia massima all’istante t = 0. Il rapporto del quadrato delle due superfici è 10−4 .

io ho scritto l'equazione di continuità: $ Sv=S_fv_f $ in cui f indica il foro da cui $ v_f=100v $
e Bernoulli: $ p_0+\rho gx+ 1/2 \rho v^2=(p_0+\rhogx)+\rhog0+1/2 \rho v_f^2 $ ma risulta $ v^2=v_f^2 $
cosa sbaglio? come si procede?..

[mgrau]

cosa sbaglio? come si procede?..

Nella tua soluzione non compare il tempo. Pare chiaro che la velocità di uscita del liquido (che non si vede perchè si debba supporre che sia massima all'inizio: ovviamente è così) dipende dall'altezza del liquido stesso (teorema di Torricelli), che a sua volta dipende da quanto liquido è uscito, che si ottiene con un integrale della velocità .
Quindi la velocità di uscita diminuisce nel tempo, a lume di naso in modo esponenziale (il che farebbe anche pensare che il tempo di svuotamento è infinito, un po' come il tempo di scarica di un condensatore)

[giantmath]

potrei esprimere v=dx/dt per far apparire il tempo ma non ho ben capito come procedere e dove ho sbagliato in bernoulli

[mgrau]

$ p_0+\rho gx+ 1/2 \rho v^2=(p_0+\rhogx)+\rhog0+1/2 \rho v_f^2 $ ma risulta $ v^2=v_f^2 $
.

Se mi descrivi a parole questa equazione (così come è scritta faccio fatica a capire), spiegando bene il significato dei simboli, magari posso dire dove sbagli (Ma mi aspetto che in questo modo te ne accorgerai da solo )

[giantmath]

ho preso come zero la base del recipiente:
$ p_0+\rho gx+ 1/2 \rho v^2 $ è la pressione all'altezza x generica (l'ho presa generica perchè il cilindro si sta svuotando)
membro di dx: $ (p_0+\rhogx) $ è la pressione alla base del recipiente, ossia quella atmosferica + quella dovuta alla restante parte di fluido ancora nel cilindro , $ 1/2 \rho v_f^2 $ è la velocità del fluido nel foro

[mgrau]

$ p_0+\rho gx+ 1/2 \rho v^2 $ è la pressione all'altezza x generica

E perchè ci metti $rhogx$? Non siamo alla superficie del liquido?

membro di dx: $ (p_0+\rhogx) $ è la pressione alla base del recipiente, ossia quella atmosferica + quella dovuta alla restante parte di fluido ancora nel cilindro , $ 1/2 \rho v_f^2 $ è la velocità del fluido nel foro

E $rhog0$ cos'è?
E comunque non si capisce perchè la velocità di uscita dal foro dovrebbe essere uguale alla velocità di discesa della superficie (se ho capito bene cosa intendi quando scrivi $v^2 = v_f^2$). Sarà 100 volte minore, no? Senza fare tanti conti

[giantmath]

spiego meglio i due membri in modo da aiutarmi a capire dove sbaglio. l'eq di Bernoulli è: $ \p+\rho gh+ 1/2 \rho v^2 $ quindi p è la pressione sulla superficie del fluido come hai detto tu, e allora $ p=p_{atm} $ , scrivo $ \rhogh$ come $ \rhogx $ perchè sono immagino che il fluido sia a un'altezza x generica, e $ 1/2 \rho v^2$

membro di dx, siamo alla base del recipiente, dove fisso lo 0 del mio sistema di rifermento, di nuovo l'eq di Bernoulli è: $ \p+\rho gh+ 1/2 \rho v^2 $ quindi la pressione è $ p=p_{atm}+\rhogx $ (per Stevino) cioè atmosferica + quella dovuta all'acqua che ancora resta nel contenitore a un'altezza x, scrivo $ \rhogh$ come $ \rhog*0 $ perchè ho fissato lo zero qui quindi questo termine è nullo, e infine $ 1/2 \rho v_{foro}^2$

(come nell'esercizio 3 di https://www.albertobarbisan.it/didattic ... mica_1.pdf)

[mgrau]

Ma, ripeto, cosa significa $v^2 = v_f^2$? E da dove viene?

[giantmath]

semplificando tutto in $ p_0+\rho gx+ 1/2 \rho v^2=(p_0+\rhogx)+\rhog0+1/2 \rho v_f^2 $ resta $ v_i^2=v_f^2 $

[mgrau]

Ma cos'è $v_i$ (che fra l'altro prima mi pare che la chiami $v$)? La velocità con cui scende la superficie libera?