Urto di un proiettile contro una sbarra

[m.e._liberti]

Un proiettile di massa m=18g viene sparato verticalmente dal basso verso l'alto attraverso un meccanismo a molla. La molla di costante elastica k=4200N/m è inizialmente compressa di 4 cm. Ad una quota h=7.5m al di sopra della posizione a riposo della molla, si trova una asta rigida omogenea di massa M=1.2 kg e di lunghezza L=1.5m disposta parallelamente al pavimento e libera di ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Assumendo che il proiettile urti in modo completamente anelastico l'asta, colpendolo ad una distanza d=35 cm dal suo centro. Determina:
a) la velocità di impatto del proiettile e la angolare del sistema dopo l'urto;
b) l'energia dissipata nell'urto;
c) l'angolo massimo di rotazione del sistema.
Non sono sicura di aver svolto bene l'esercizio.
Allora, ho ricavato la velocità di impatto del proiettile imponendo la conservazione della quantità di moto: $v_(imp)$=$[mv_0][/m+M]$ e ricavando $v_0$ dalla conservazione dell'energia. La velocità angolare invece l'ho ottenuta dalla conservazione del momento angolare. Ho fatto bene a calcolare il momento di inerzia come $[Ml^2][/12]+md^2$?
Ho calcolato poi l'energia dissipata come $[1][/2]Iw_f^2+[1][/2](m+M)v_f^2-[1][/2]mv_0^2$, è giusto (?)
Per ricavare l'angolo massimo di oscillazione qual è la conservazione dell'energia che devo imporre?

[ingres]

Domanda a
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.

Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio

Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...

[m.e._liberti]

Domanda a
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.

Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio

Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...

Chiaro! Grazie. Una curiosità, se l'asta ruotava con una velocità angolare $\omega_0$ il momento angolare potevo scriverlo comunque come $mv_0=I\omega_1$? O dovevo sommare entrambe le componenti? O tenere conto solo della rotazione iniziale?

[ingres]

se l'asta ruotava con una velocità angolare ω0 il momento angolare potevo scriverlo comunque come $mv_0=Iω_1$ O dovevo sommare entrambe le componenti? O tenere conto solo della rotazione iniziale?

Nella relazione di cui sopra (manca un termine "d" nel termine di sinistra ovvero è $mdv_0=Iω_1$), in caso di asta che ruotava già con velocità angolare $omega_0$ prima di essere colpita dal proiettile, si dovrà sommare un termine a sinistra pari a $ pm I_0 omega_0$ di momento angolare iniziale dell'asta dove la scelta del segno dipende dal senso di rotazione iniziale e dove $I_0 = (M*L^2)/12$ è il momento d'inerzia della sola asta.

[m.e._liberti]

Grazie mille!

[m.e._liberti]

Domanda a
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.

Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio

Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...

Ciao, vorrei chiederti un'altra cosa. Qual è l'espressione dell'energia potenziale? Potresti scrivermela?

[ingres]

L'asta è vincolata nel suo centro per cui non ha variazione di energia potenziale, ma il proiettile conficcato quando l'asta ruota di un angolo $theta$ si alza ad una quota $y=d*sin(theta)$ per cui l'energia potenziale varrà $U=m*g*y = m*g*d*sin(theta)$.

In alternativa si poteva calcolare il baricentro assumendo come origine degli assi x,y il centro dell'asta. Il baricentro si troverà ad una distanza $d*m/(m+M)$ dal centro dell'asta. Quindi ruotando si alzerà alla quota $y_(CM) = d*m/(m+M)*sin(theta)$ e quindi l'energia potenziale varrà

$U=(m+M)*g*y_(CM) = m*g*d*sin(theta)$ identica alla precedente

A questo punto imponendo l'uguaglianza con l'energia cinetica si determina l'angolo massimo.

[m.e._liberti]

Perfetto, gentilissima ❤️