Due biglie urtano una sbarra

[m.e._liberti]

Una sbarra omogenea di lunghezza $L=0,6 m$ e massa $M=0,8 kg$ si trova su un piano liscio orizzontale. Due biglie, da considerarsi puntiformi, di massa rispettivamente $m_1=0,1 kg$ e $m_2=0,2 kg$, si muovono sullo stesso piano orizzontale con velocità rispettivamente di $v_1=0,2 m/s$ e $v_2=0,1 m/s$ in direzione ortogonale alla sbarretta e versi opposti. I due corpi colpiscono contemporaneamente la sbarra da parti opposte rispetto al centro della sbarretta e a distanza rispettivamente di $d_1=0,2 m$ e $d_2=0,1 m$ dal centro di massa e vi rimangono conficcati. Determinare:
a) la posizione del centro di massa e la sua velocità;
b) il momento angolare del sistema dopo l'urto;
c) la velocità di rotazione del sistema.

Ho svolto questo esercizio ma ho delle perplessità a riguardo.
Ho calcolato la posizione del centro di massa come $x_(cm)=[m_1(-d_1)+m_2d_2]/(m_1+m_2+M)$. E' corretto? Il risultato di tale equazione è zero per cui il centro di massa dovrebbe coincidere in ogni stante con il centro della sbarra. A tal proposito, non bisogna determinare anche la componente $y_(cm)$?
La velocità è data invece da $v_(cm)=[m_1v_1+m_2v_2]/(m_1+m_2+M)$. E' giusto?
Poi, ho ricavato il momento angolare del sistema dopo l'urto dalla sua conservazione. Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale, dove $I=(ML^2)/12+m_1d_1^2+m_2d_2^2$. Da questa relazione ho potuto ottenere anche la velocità di rotazione del sistema. Ma non sono proprio sicura che sia corretto così...

[Faussone]

Va bene la determinazione del centro di massa, però per la velocità devi tener conto che i versi delle velocità prima dell'urto sono opposti...

[m.e._liberti]

Va bene la determinazione del centro di massa, però per la velocità devi tener conto che i versi delle velocità prima dell'urto sono opposti...
L'ultimo punto mi pare pure corretto.

Cambiando segno alla velocità risulta che il momento angolare è nullo, e di conseguenza anche la velocità di rotazione. È possibile?

[Faussone]

Cambiando segno alla velocità risulta che il momento angolare è nullo, e di conseguenza anche la velocità di rotazione. È possibile?

Fa' attenzione, la velocità del centro di massa dopo l'urto sarà nulla, la velocità angolare finale invece non è nulla (i contributi al momento angolare delle due masse si sommano).

Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale

Avevo visto male questo, a primo membro ci va il contributo del momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) delle due masse prima dell'urto (e i due contributi hanno stesso segno), non la quantità di moto del sistema!

[m.e._liberti]

Cambiando segno alla velocità risulta che il momento angolare è nullo, e di conseguenza anche la velocità di rotazione. È possibile?

Fa' attenzione, la velocità del centro di massa dopo l'urto sarà nulla, la velocità angolare finale invece non è nulla (i contributi al momento angolare delle due masse si sommano).

Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale

Avevo visto male questo, a primo membro ci va il contributo del momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) delle due masse prima dell'urto (e i due contributi hanno stesso segno), non la quantità di moto del sistema!

Quindi il momento angolare iniziale sarà uguale a $m_1v_1(-d_1)+m_2(-v_2)d_2$?

[Faussone]

Quindi il momento angolare iniziale sarà uguale a $m_1v_1(-d_1)+m_2(-v_2)d_2$?

Sì corretto, i momenti angolari delle due masse hanno stesso segno (positivo o negativo a seconda della convenzione che scegli).

[m.e._liberti]

Perfetto allora, grazie mille ☺️