Dato che l'asse di rotazione \(a\) è fisso, la
seconda equazione cardinale della dinamica impone: \[
\mathbf{M}_{\text{risultante}} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\mathbf{L}_{\text{sistema}}
\] ossia, nel caso specifico, si ha: \[
(mg)R_2 - (ky)R_1
= \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(mvR_2+I_a\omega\right)
= \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(m\omega R_2^2+I_a\omega\right)
= \left(mR_2^2+I_a\right)\dot{\omega}
= \left(mR_2^2+I_a\right)\frac{\ddot{y}}{R_1}
\] dove, grazie alla
proprietà additiva del momento d'inerzia: \[
I_a = \frac{1}{2}MR_1^2 + \frac{1}{2}MR_2^2.
\] Pertanto, possiamo scrivere: \[
\ddot{y} + \frac{kR_1^2}{mR_2^2+I_a}y = \frac{mgR_1R_2}{mR_2^2+I_a}
\] o ancora: \[
\ddot{y} + \frac{kR_1^2}{mR_2^2+I_a}y = \frac{kR_1^2}{mR_2^2+I_a}\frac{mgR_2}{kR_1}
\] dove, definendo: \[
\Omega := \sqrt{\frac{kR_1^2}{mR_2^2+I_a}}, \quad \quad \quad y_{\text{st}} := \frac{mgR_2}{kR_1}
\] si ottiene: \[
\ddot{y} + \Omega^2y = \Omega^2y_{\text{st}}
\] che è una innocua
ODE lineare del secondo ordine a coefficienti costanti verificata per: \[
y(t) = y_{\text{st}} + c_1\cos(\Omega\,t) + c_2\sin(\Omega\,t)
\] dove, al solito, \(c_1\) e \(c_2\) sono due costanti reali calcolabili imponendo le
condizioni iniziali.
In particolare, possiamo riscriverla come: \[
y(t) = y_{\text{st}} + \sqrt{c_1^2+c_2^2}\left(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\,\cos(\Omega\,t) + \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\,\sin(\omega\,t)\right)
\] ossia, definendo: \[
A := \sqrt{c_1^2+c_2^2}, \quad \quad \quad \sin\varphi := \frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}, \quad \quad \quad \cos\varphi := \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}
\] assume la nota forma: \[
\boxed{y(t) = y_{\text{st}} + A\sin(\Omega\,t+\varphi)}
\] dove sono messi in evidenza l'allungamento statico \(y_{\text{st}}\), l'ampiezza \(A\), la pulsazione \(\Omega\) e la fase \(\varphi\).
\(\quad\quad\quad\quad\quad\)
Va da sé che ai fini dell'esercizio era sufficiente fermarsi quando ho definito \(\Omega\), ma per poter comprendere il perché quella sia proprio la pulsazione richiesta è necessario avere comunque ben a mente tutto ciò che ho scritto dopo e che sicuramente avrete visto a lezione, dato che sono concetti estremamente importanti.
