Esercizio conservazione energia

[gabrii02]

Un condotto circolare di raggio $r=2$ $m$, massa $m_1=2$ $kg$ è libero di muoversi su un piano senza attrito. La sezione del condotto ha dimensioni trascurabili rispetto a $r$. Al suo interno è presente una pallina di massa $m_2=200$ $g$, approssimabile come un punto materiale, inizialmente posta nel punto più alto, in quiete. A causa dell'equilibrio instabile la pallina inizia a scivolare dentro al condotto, senza attrito.

1) Quali grandezze si conservano nel sistema durante il moto?
2) Calcolare la velocità finale della pallina e del tubo quando la pallina avrà raggiunto il punto più basso.


Dato che non sono sicuro dei risultati che ho ottenuto, vorrei sapere la vostra opinione per capire se ho sbagliato.

Chiaramente l'energia si conserva non avendo forze di attrito, né altri scambi di energia con l'esterno. A questo punto ho studiato il momento angolare, imponendo che il polo fosse il centro di massa del condotto. Mi sono munito di carta e penna e ho fatto un piccolo disegno che potesse aiutarmi a capire cosa stesse succedendo. Durante il moto della pallina la forza peso si scompone lungo due componenti: una diretta verso il centro del condotto e una componente tangenziale. La prima non applica momento essendo parallela al vettore posizione, l'altra invece genera un momento non nullo. Nonostante questo però non mi aspetto una rotazione del condotto, dato che la componente tangenziale della forza peso di $m_2$ non sfrega l'oggetto $m_1$. Già da qui inizia a sorgermi un dubbio, dato che non so se il momento che ho ottenuto è esterno al sistema costituito dai due oggetti o no. Poi passando alla quantità di moto i dubbi sono aumentati, dato che è presente la forza peso del corpo $m_2$, ma essa non è impulsiva, quindi mi chiedevo in quest'occasione cosa accade al sistema.

Dato che magari sto facendo confusione, mi piacerebbe capire se il mio approccio è corretto oppure dovrei percorrere un'altra strada.

[Faussone]

C'era un professore all'università ai miei tempi (N anni fa con N>>1 ) che per gli esercizi di Fisica diceva: "se ruota attaccamose (romanesco) ai momenti angolari".
Premetto che sto rispondendo al volo, ma a me non pare ci sia qualcosa che ruoti qui, secondo me basta conservazione di energia e quantità di moto orizzontale (la quantità di moto verticale non si conserva essendoci la reazione verticale, ma tanto non è che serva per quello che viene chiesto).

[gabrii02]

Possono passare gli anni ma le frasi lapidarie dei professori rimangono sempre in mente agli studenti .

Comunque anch'io non penso ci sia una rotazione dell'oggetto $m_1$, però ho l'impressione che il momento angolare non si conservi lo stesso. Infatti, fissato il polo nel CM del condotto, $\vecrxx\vecp$ durante il moto varia nel tempo a causa della variazione di velocità. Comunque adesso vorrei concentrarmi sulla quantità di moto, perdonami se magari sono tonto, vorrei schematizzare meglio la cosa. Quando intendi componente "verticale" ed "orizzontale" ti stai riferendo agli assi centrati nella pallina che ruotano con componenti radiale e tangenziale oppure agli assi fissi nella posizione "standard"? Perché così in questo modo non ho capito cosa si conserva e cosa no

[Faussone]

Mi riferisco a un sistema assoluto esterno quindi la direzione orizzontale è parallela al piano (nella direzione in cui si può muovere la guida) e quella verticale è normale al piano.
In direzione orizzontale non agiscono forse esterne al sistema pallina più guida, pertanto la quantità di moto in tale direzione deve conservarsi e il centro di massa del sistema non può muoversi in quella direzione, in direzione verticale c'è la reazione del piano verticale come forza esterna, per cui in tale direzione non si conserva la quantità di moto del sistema e quindi il centro di massa si può muovere in verticale.
Riguardo al momento angolare ancora devi considerare che hai la reazione verticale del piano come forza esterna la quale può dare momento o no a secondo del polo rispetto a cui applichi il momento angolare.

EDIT: rivedendo il problema in realtà si può avere rotazione della guida, a questo punto occorre sì la seconda equazione cardinale, ossia vedere se il momento angolare rispetto a un qualche polo si conservi.

[Faussone]

@gabrii02
Ho editato le mie considerazioni precedenti...

Prova a scrivere la conservazione di quantità di moto orizzontale, energia e momento angolare rispetto a un polo opportuno, magari ne riparliamo.

[gabrii02]

Pomeriggio lo riguardo e ti faccio sapere, ti ringrazio comunque per la disponibilità.

[gabrii02]

Allora, ho dato un'occhiata a ciò che hai scritto e avevo pensato di fare questo tipo di ragionamento: nonostante io non conosca durante il moto come cambi la posizione del centro di massa del sistema posso sempre prendere un sistema di riferimento che si muove come il CM, in maniera tale da poter scrivere la seconda equazione cardinale eliminando la forza normale dai giochi, e in questo caso non avrei momenti esterni al sistema. Però non riesco a visualizzare perché il moto del centro di massa sia solo in verticale, dato che in questo caso l'intuizione suggerisce altro.

Imponendo soltanto quantità di moto orizzontale e conservazione energia (senza rotazione) ho trovato che all'istante di tempo in cui la pallina è nel punto più basso, la velocità $v_P=-8.4$ $m//s$ mentre quella del condotto è $v_C=0.84$ $m//s$. I risultati ottenuti mi sembrano ragionevoli, cosa ne pensi?

[Faussone]

Imponendo soltanto quantità di moto orizzontale e conservazione energia (senza rotazione) ho trovato che all'istante di tempo in cui la pallina è nel punto più basso, la velocità $v_P=-8.4$ $m//s$ mentre quella del condotto è $v_C=0.84$ $m//s$. I risultati ottenuti mi sembrano ragionevoli, cosa ne pensi?

Però il momento angolare totale del sistema rispetto a un punto in cui il momento della reazione del piano è nullo (che sia il centro di massa del sistema, quello della guida o il punto di contatto tra piano e guida) deve conservarsi...

[gabrii02]

Sì ho capito cosa dici, ma a quel punto come dovrei scrivere la seconda equazione cardinale?

[Faussone]

EDIT
Sbagliato quanto avevo scritto qui. Contrariamente a quanto avevo ritenuto, il momento angolare di tutto il sistema rispetto a quei possibili poli NON si conserva. Vedere messaggi successivi.