esercizio temperatura di equilibrio

[giantmath]

due masse m1 = 2m0 e m2 = 3m0 di una stessa sostanza sono, in un primo tempo, isolate termicamente e si trovano rispettivamente alle temperature T1 = T0 e T2 = 4T0. Successivamente le due masse vengono messe in contatto termico fra loro. Il calore specifico a pressione costante della sostanza varia secondo la legge "cp=aT", con "a" costante non nota. Determinare la temperatura finale di equilibrio Tf.


come mai svolgendo l'esercizio con la formula $ T_f=\frac{C_1T_1+C_2T_2}{C_1+C_2}=\frac{m_1c_1T_1+m_2c_2T_2}{m_1c_1+m_2c_2 $ non ottengo il risultato corretto ossia
$ T_f=T_0√10 $ ? (e devo invece procedere con Q=Q1+Q2=0). cosa c'è di sbagliato?

[ingres]

Essendo il calore specifico variabile con la temperatura, il valore dello stesso varia durante lo scambio e $c_1$ e $c_2$ non sono definiti a priori. In generale il calore scambiato sarà

$Q_i = m_i int_(T_i)^(T_f) c_p dT = m_i a/2*(T_f^2 -T_i^2)$

Se si volesse procedere oltre si potrebbe anche definire un calore specifico medio

$c_i = Q_i/(m_i (T_f-T_i)) = a*(T_f+T_i)/2$

ma non sarebbe una strada particolarmente utile perchè si avrebbe $T_f$ sia al primo che al secondo membro della formula.

Molto più semplice porre $Q=Q_1+Q_2=0$ usando il calcolo di $Q_i$ fatto sopra.

[giantmath]

chiaro, grazie!