correzioni legge di stevino

[giantmath]

La ciminiera di una fabbrica emette aria calda alla temperatura di 150 C, ad una velocità di 100 km/h, mentre la temperatura esterna è di 10 C. Si faccia l'ipotesi che la base della ciminiera sia aperta e sufficientemente ampia da poter considerare nulla la velocità dell'aria calda alla base. Nell'ipotesi in cui l'aria sia un gas perfetto e che le temperature non cambino con l'altezza, si determini l'altezza della ciminiera. Si valuti l'errore commesso nell'approssimazione di Stevino.

ho un grosso problema con i segni.
io ho ricavato la giusta altezza h sapendo che la pressione alla stessa quota (all'altezza h) è la stessa, dentro e fuori la ciminiera. pertanto $ p_{atm}+1/2\rho_cv^2+\rho_cgh=p_{atm}+\rho_ogh $ da cui h.

poi però volendo rispondere alla seconda domanda io ho sviluppato $ p_h=p_{atm}e^{-\frac{\rho_ogh}{\rho_c}}=p_{atm} -\rho_0gh+1/2\frac{{\rho_0gh}^2}{p_{atm}} $

quindi $ p_{atm}+1/2\rho_cv^2+\rho_cgh=p_{atm}+\rho_ogh $ diventa ora $ p_{atm}+1/2\rho_cv^2-\rho_cgh+1/2\frac{{\rho_cgh}^2}{p_{atm}} =p_{atm}-\rho_ogh +1/2\frac{{\rho_0gh}^2}{p_{atm}} $
ma è totalmente diverso da quello che dovrei ottenere, ossia:

[ingres]

Immagino che nella soluzione intenda con il pedice "e" l'esterno ovvero l'atmosfera quello che hai nominato con pedice "0", con il pedice "i" l'interno ovvero la ciminiera ovvero quello che hai denominato con "c".

Poi se capisco bene le assunzioni dovrebbero essere:

1) Alla base della ciminiera c'è la pressione $p_0 = p_(atm)$ sia interna che esterna
2) La pressione $p_x=p_h$ all'altezza $x=h$ della ciminiera ($x_0=0$ alla base) è la stessa sia all'interno che all'esterno.

Per Bernoulli risulterà (uso i simboli e i pedici della soluzione):

Interno
$p_0/(rho_i*g) + v_0^2/(2g) + x_0 - y= p_x/(rho_i*g) + v^2/(2g) + x$

da cui essendo $x_0 = 0$, $v_0 approx 0$ e le perdite di carico $y approx 0$

$p_0 = p_x + rho_i*g*x + 1/2 rho_i v^2$ (1)


Esterno
Le velocità e le perdite di carico possono essere considerate nulle per cui:

$p_0/(rho_e*g) + x_0 = p_x/(rho_e*g) + x$

$p_0 = p_x + rho_e*g*x$ (2)

Uguagliando le due espressioni si ritrova la prima espressione che hai scritto

$p_x + rho_i*g*x + 1/2 rho_i v^2 = p_x + rho_e*g*x$ (3)

ma con una differenza di fondo che non altera il calcolo di h, ma che altera il resto ovvero che la pressione che compare non è la pressione atmosferica alla base ma la pressione in cima alla ciminiera.

A questo punto utilizzando l'espressione di $p_x$ approssimata al secondo termine nell'equazione (1) il termine $p_x + rho_i*g*x$ verrà sostituito da$p_x + rho_i*g*x -1/2 (rho_i*g*x)^2/p_0$ e facendo lo stesso nell'equazione (2), si otterrà alla fine che la (3) già semplificata diventa

$rho_i*g*x - 1/2 (rho_i*g*x)^2/p_0 + 1/2 rho_i v^2 = rho_e*g*x - 1/2 (rho_e*g*x)^2/p_0$

che corrisponde a quella della soluzione.

[giantmath]

ti ringrazio.. tuttavia mi chiedo ancora cosa ci sia di sbagliato nell'equazione che scrivevo io e che non mi permette di ottenere il risultato corretto $ p_{atm}+1/2\rho_cv^2+\rho_cgh=p_{atm}+\rho_ogh $

all'altezza h infatti la pressione è quella atmosferica, quindi non capisco come mai si debba scrivere $p_x$ invece che $p_atm$.
nella legge di bernoulli, infatti, è $ p_x=p+\rho gh +1/2\rhov^2 $ in cui p è la pressione sulla superficie libera del fluido, che in questo caso è quella atmosferica..

ho un altro importante dubbio sorto dopo aver risolto questo esercizio:



in questo esercizio viene detto di calcolare la presione in corrispondenza della superficie di contatto tra liquido e acqua, a sx del ramo è: $ p=p_0+\rho_a(d+\Deltah)g $ e a dx del ramo è: $ p=p_0+\rhodg $ .

la mia domanda è: la legge di stevino è $ p(h)=p_0+\rhogh $ in cui $p_0$ è la pressione in corrispondenza della quota in cui prendo lo zero, giusto? allora forse l'esercizio prende lo 0 in corrispondenza della superficie libera del liquido ignoto a contatto con l'atmosfera, in tal caso scriverei nel ramo di dx $ p(d)=p_{atm}+\rhogd $ con un + perchè ho scelto asse y diretto verso il basso, invece a sx $ p(d)=(p_{atm}+\rho_ag\Deltah)+\rho_agd $ in cui $ (p_{atm}+\rho_ag\Deltah) $ è la pressione alla quota zero

[ingres]

Intanto provo a risolvere il tuo dubbio sul primo esercizio. Più tardi vedo anche il secondo.

all'altezza h infatti la pressione è quella atmosferica

No, è proprio questa la differenza. La pressione atmosferica si ha alla base della ciminiera e non all'altezza h (se ci pensi quando si parla di pressione atmosferica si parla di pressione a livello del mare). Quindi è $p_x$ la pressione ad altezza h e considerandola come pressione sulla superficie libera risulterà per il percorso esterno alla ciminiera (più semplice da capire perchè non c'è il termine cinetico):

$p_(atm) = p_x + rho_0*g*h$

mentre se si considera $p_x$ la pressione alla base e $p_(atm)$ quella all'altezza h si avrebbe:

$p_x = p_(atm) + rho_0*g*h$

Chiaramente c'è un'inversione. Siccome la stessa inversione avviene anche sul percorso interno e poichè in prima approssimazione sia $p_(atm)$ che $p_x$ si elidono uguagliando i 2 percorsi, il risultato in prima approssimazione è comunque corretto. Ma in seconda approssimazione nasce il problema per cui cominciano a non tornare i segni.

[ingres]

Sul secondo esercizio ovviamente ottieni lo stesso risultato ed è corretto che sia così perchè la pressione non può dipendere dalla scelta arbitraria del riferimento.

Appurato che la pressione alla stessa profondità $d+Delta h$ dovrà essere la stessa sia per il ramo dx che per sx, posso tranquillamente prendere riferimenti diversi a quote diverse per il calcolo dei $Delta p$ del ramo dx e di quello sx (prima equazione) oppure fissare un riferimento comune per entrambi i rami, calcolare la pressione nei due rami alla quota del riferimento comune (le pressioni saranno in generale diverse) e da lì muovermi calcolando i delta di pressione per il ramo dx e sx (seconda equazione).

[giantmath]

è corretto se ragionassi così? cioè se scelgo due zeri diversi e assi h diversi per applicare stevino e bernoulli

[ingres]

Ti direi di SI. Purchè sia mantenuta l'uguaglianza delle pressioni nei punti dove devono essere uguali, i calcoli sui due percorsi sono indipendenti l'uno dall'altro e quindi non sei obbligato a scegliere gli stessi riferimenti per entrambi.

E infatti le equazioni che hai scritto per il calcolo di $p_(atm)$ sono esatte.

[giantmath]

perfetto grazie

[giantmath]

perfetto grazie! ma mi rimane un ultimo dubbio.
nell'esercizio qui sotto (un serbatoio contenente acqua che fuoriesce dal foro praticamente nel punto 1) però viene detto che la pressione $ p_2 $ è quella atmosferica, anche se non siamo alla quota 0 del livello del mare. mi domando allora perchè nell'esercizio precedente della ciminiera mi è stato (giustamente) detto che $ p_x $ non fosse quella atmosferica

[ingres]

Il fatto di semplificare il problema del serbatoio assumendo brutalmente $p_1 = p_2 = p_(atm)$, invece che scrivere più correttamente $p_2 = p_1 - rho_(aria)*g*h$ dipende da due fattori:

1) il meno importante è che la differenza tra le due pressioni è molto più piccola del caso della ciminiera perchè tipicamente l'altezza dei serbatoi è molto più ridotta di quella della ciminiera

2) il più importante è che non si stanno considerando due percorsi in aria come nel caso della ciminiera, con variazioni di pressione molto ridotte, ma uno dei percorsi è in acqua che ha una densità quasi 1000 volte superiore a quella dell'aria. In pratica facendo i conti più precisi si otterrebbe:

$ v = sqrt((rho_a - rho_(aria))/(rho_a))*sqrt(2*g*h)$

e prendendo i valori standard $rho_a = 1000 (kg)/m^3$ e $rho_(aria) = 1.225 (kg)/m^3$ il fattore correttivo sarebbe 0.9994. Inutile dire che per questo tipo di problemi $p_1 = p_2 = p_(atm)$ è un'ottima approssimazione.