Esercizio su condensatore contenente una densità volumetrica di carica tra le armature

[nm126]

Ciao a tutti,

sto avendo qualche problema a comprendere la soluzione di un esercizio relativo al campo elettrico di un condensatore riempito con una densità di carica volumetrica rho. Nella soluzione (che allego di seguito insieme al testo), viene utilizzata la legge di Gauss in forma differenziale, che poi integrata restituisce un'espressione per il campo elettrico. Perché nella soluzione viene utilizzato questo campo così ricavato come campo elettrico totale? Non è relativo solamente alla densità di carica volumetrica interna al condensatore? Ad essa non va aggiunto il campo generato dalle piastre del condensatore (per sovrapposizione degli effetti)?
Anche perché se utilizzassimo la divergenza di E in un normale condensatore otterremo zero, ma ciò non ci fa concludere che è nullo tutto il campo elettrico.

Testo:
Un condensatore piano é costituito da due armature circolari di raggio R poste a distanza d (d « R). Le armature sono connesse ad un generatore di differenza di potenziale AV, come mostrato in figura. Nello spa-
zio tra le due armature é presente una densitá di carica volumetrica p che varia nella regione 0 < z < d fra le
due armature secondo la legge p(z) = Po exp(-z/A), dove Po e A sono costanti. Si calcolino:
(i) l'espressione del campo elettrico tra le armature
del condensatore;
(ii) le cariche indotte sulle due armature del
condensatore.





Grazie in anticipo!!

[ingres]

Il campo calcolato tiene conto anche della carica sulle armature che è conglobata nel termine costante A presente nella (2) della soluzione (in effetti se avessimo proceduto allo stesso modo in assenza di densità volumetrica avremmo avuto solo il termine costante per trovare campo e cariche).
Per vedere meglio come stanno le cose proviamo ad usare Gauss in forma integrale osservando che sull'armatura di sinistra sarà presente una carica -Q (incognita), e dove prenderemo come superficie gaussiana quella costituita da un parallelepipedo di base S e lunghezza z, avente la faccia di sinistra nell'elettrodo (per cui su tale faccia E=0). Risulterà

$E_z*S = (S*int_0^z rho(zeta)d zeta - Q)/epsilon_0$

da cui

$E_z(z) = (lambda*rho_0)/epsilon_0*(1-e^(-z/lambda))-Q/(S*epsilon_0)$

Dovendo essere

$Delta V = -int_0^d E_z(z)dz = -(lambda*rho_0)/epsilon_0*(d+lambda*e^(-d/lambda) - lambda)+ (Q*d)/(S*epsilon_0)$

si ricava

$Q/(S*epsilon_0) = (Delta V)/d + (lambda*rho_0)/epsilon_0*(1+lambda/d*e^(-d/lambda) - lambda/d)$

e sostituendo

$E_z(z) =(lambda*rho_0)/epsilon_0*(1-e^(-z/lambda))-(Delta V)/d - (lambda*rho_0)/epsilon_0*(1+lambda/d*e^(-d/lambda) - lambda/d)$

e semplificando

$E_z(z) = -(Delta V)/d + (rho_0*lambda^2 )/(epsilon_0*d)*(1-e^(-d/lambda))-(rho_0*lambda )/(epsilon_0)*e^(-z/lambda)$

Abbiamo quindi riottenuto la stessa soluzione, dove però abbiamo esplicitamente tenuto conto della carica sull'armatura di sinistra.
Ed è importante notare che non è vero che su tale armatura $Q=epsilon_0*S/d DeltaV$, ovvero lavorando a tensione costante la carica non è quella del caso senza densità volumetrica di carica.
E in ultimo ti direi che non è neanche vero che la carica sull'armatura di destra sia la stessa di quella di sinistra.

[nm126]

Grazie mille!!