Si consideri l’algebra degli operatori associati al momento angolare $L_x$, $L_y$, $L_z$ con le regole di
commutazione \([L_x,L_y]=i\hbar L_z\) e gli stati $|l,m\rangle$ tali che [e qui ci sono le due equazioni agli autovalori per gli operatori $L^2$ e $L_z$]. Per $l=1$ si determinino autovalori e autovettori dell’operatore $H=(L_xL_y + L_yL_x)/I$, con $I$ costante avente le dimensioni di un momento d’inerzia.
Per risolverlo ho scritto l'espressione di un generico stato $|\alpha\rangle$ dello spazio di Hilbert in questione, ovvero:
\( |\alpha\rangle = \displaystyle\sum_{m=-1}^1 \langle 1,m|\alpha\rangle |1,m\rangle = \displaystyle\sum_{m=-1}^1 \alpha_m |1,m\rangle \).
Poi, utilizzando gli operatori a scaletta $L_\pm=L_x\pmiL_y$ sono arrivato a mostrare che:
\(H=\dfrac{1}{2iI}(L_+^2-L_-^2)\).
Applicando $H$ allo stato di cui sopra e sfruttando il fatto che $L_+$ e $L_-$ restituiscono il vettore nullo se applicati a $|1,1\rangle$ e a \(|1,-1\rangle\) rispettivamente, si ottiene che:
\(H|\alpha\rangle = \dfrac{\hbar^2}{iI}(\alpha_{-1}|1,1\rangle - \alpha_1|1,-1\rangle)\).
Imponendo l'equazione \(H|\alpha\rangle = \lambda|\alpha\rangle\) si trova infine:
\(|\alpha\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|1,1\rangle \pm i|1,-1\rangle), \hspace{10pt} \lambda = \pm\dfrac{\hbar^2}{I}\).
Questi sarebbero gli autostati dell'operatore $H$ con i rispettivi autovalori. Il problema è che ne sono usciti fuori solo 2.
Dov'è il terzo? Grazie a chi risponderà!
