Un disco che ruota con un insetto

[m.e._liberti]

Un disco omogeneo di massa $M= 15 g$ e raggio $R = 5 cm$ è appoggiato sul piano orizzontale liscio x-y e sta ruotando con velocità angolare $\omega_0= 2 (rad)/s$ attorno un asse passante per il suo centro O. Il disco non è vincolato. Un insetto di massa $m = 5 g$, posto inizialmente in O e fermo rispetto al disco, cammina su di esso fino a raggiungere l'estremità dove, a un certo istante t*, si ferma nuovamente rispetto al disco. Determinare:
a) la velocità del centro di massa C del sistema disco + insetto dall'istante t* e il momento d'inerzia del sistema rispetto ad un asse passante per C e ortogonale al piano;
b) la velocità angolare del disco dall'istante t*;
3) il lavoro totale compiuto dalle forze di attrito fra insetto e disco.
Poiché l’insetto all’istante t* è fermo e il disco ruota senza traslare ho calcolato la velocità del centro di massa come $(M\omega_0R)/(m+M)$. Per determinare il momento di inerzia ho calcolato la posizione del centro di massa come $(mR)/(m+M)$. Di conseguenza ho ricavato $I_c=1/2MR^2+Mx_c^2+mx_c$. Ho fatto bene?

[Faussone]

Poiché l’insetto all’istante t* è fermo e l’asta ruota senza traslare ho calcolato la velocità del centro di massa come $(M\omega_0R)/(m+M)$. Per determinare il momento di inerzia ho calcolato la posizione del centro di massa come $(mR)/(m+M)$. Di conseguenza ho ricavato $I_c=1/2MR^2+Mx_c^2+mx_c$. Ho fatto bene?

Di che asta parli? Volevi dire disco forse?
Comunque la posizione del centro di massa del sistema rispetto ad un riferimento esterno non cambia mai tra inizio e fine, mentre cambiano la posizione del centro di massa del disco e la posizione dell'insetto. Quella che hai trovato tu è la posizione del centro di massa del disco alla fine rispetto al centro di massa del sistema.

Nel momento di inerzia complessivo del sistema invece l'ultimo termine è sbagliato, ci va il momento di inerzia dell'insetto rispetto al centro di massa, quindi serve il quadrato della distanza dell'insetto dal centro di massa per la massa dell'insetto.

La velocità del centro di massa del sistema non può cambiare mai neanche... In ogni caso per per il calcolo della velocità angolare puoi eguagliare il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa tra inizio e fine.

[m.e._liberti]

Poiché l’insetto all’istante t* è fermo e l’asta ruota senza traslare ho calcolato la velocità del centro di massa come $(M\omega_0R)/(m+M)$. Per determinare il momento di inerzia ho calcolato la posizione del centro di massa come $(mR)/(m+M)$. Di conseguenza ho ricavato $I_c=1/2MR^2+Mx_c^2+mx_c$. Ho fatto bene?

Di che asta parli? Volevi dire disco forse?
Comunque la posizione del centro di massa del sistema rispetto ad un riferimento esterno non cambia mai tra inizio e fine, mentre cambiano la posizione del centro di massa del disco e la posizione dell'insetto. Quella che hai trovato tu è la posizione del centro di massa del disco alla fine rispetto al centro di massa del sistema.

Nel momento di inerzia complessivo del sistema invece l'ultimo termine è sbagliato, ci va il momento di inerzia dell'insetto rispetto al centro di massa, quindi serve il quadrato della distanza dell'insetto dal centro di massa per la massa dell'insetto.

La velocità del centro di massa del sistema non può cambiare mai neanche... In ogni caso per per il calcolo della velocità angolare puoi eguagliare il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa tra inizio e fine.

Sì, volevo dire disco. Dicendomi che la velocità del centro di massa non cambia, mi vuole far capire che ho sbagliato il modo di calcolarla? Inoltre ho determinato correttamente la posizione del centro di massa oppure no? Vi sono molto grata di questi chiarimenti teorici ma ho veramente difficoltà a comprenderli ai fini dello svolgimento dell'esercizio... Per quanto riguarda il momento del disco devo considerare quindi $mx_c^2$?

[Faussone]

Puoi usare il tu. In questo spazio non si usa il lei, né il voi

Veramente quanto ho scritto mi pare chiaro, da quello che richiedi mi pare non hai letto la mia risposta.... Riassumo di seguito.
La velocità del centro di massa del sistema (massa e insetto) non cambia, quanto vale all'inizio quando l'insetto è fermo al centro? Lo stesso sarà alla fine.
La formula sulla posizione del centro di massa che hai scritto ti dà la distanza tra centro del disco e il centro di massa del sistema alla fine quando l'insetto è sul bordo, comunque il centro di massa del sistema non si sposta, si spostano disco e insetto.
Per quanto riguarda il momento di inerzia del disco rispetto al centro di massa del sistema la formula che avevi scritto è corretta, va corretto il momento di inerzia dell'insetto.

[m.e._liberti]

Puoi usare il tu. In questo spazio non si usa il lei, né il voi

Veramente quanto ho scritto mi pare chiaro, da quello che richiedi mi pare non hai letto la mia risposta.... Riassumo di seguito.
La velocità del centro di massa del sistema (massa e insetto) non cambia, quanto vale all'inizio quando l'insetto è fermo al centro? Lo stesso sarà alla fine.
La formula sulla posizione del centro di massa che hai scritto ti dà la distanza tra centro del disco e il centro di massa del sistema alla fine quando l'insetto è sul bordo, comunque il centro di massa del sistema non si sposta, si spostano disco e insetto.
Per quanto riguarda il momento di inerzia del disco rispetto al centro di massa del sistema la formula che avevi scritto è corretta, va corretto il momento di inerzia dell'insetto.

Allora mi pare di capire di aver calcolato bene la velocità del centro di massa. Invece per quanto riguarda il momento di inerzia dell'insetto devo calcolare $x_c'$ come $(MR)/(m+M)$ e quindi ottenere $I_i=mx_c'$. Ho capito bene?

[Faussone]

Allora mi pare di capire di aver calcolato bene la velocità del centro di massa. Invece per quanto riguarda il momento di inerzia dell'insetto devo calcolare $ x_c' $ come $ (MR)/(m+M) $ e quindi ottenere $ I_i=mx_c' $. Ho capito bene?

Ehm... no.
La velocità del centro di massa di disco e insetto all'inizio è nulla, quindi...
Per calcolare la velocità angolare finale del disco invece devi usare la conservazione del momento angolare come ho scritto nella prima risposta.

[m.e._liberti]

Allora mi pare di capire di aver calcolato bene la velocità del centro di massa. Invece per quanto riguarda il momento di inerzia dell'insetto devo calcolare $ x_c' $ come $ (MR)/(m+M) $ e quindi ottenere $ I_i=mx_c' $. Ho capito bene?

Ehm... no.
La velocità del centro di massa di disco e insetto all'inizio è nulla, quindi...
Per calcolare la velocità angolare finale del disco invece devi usare la conservazione del momento angolare come ho scritto nella prima risposta.

D’accordo. Il momento di inerzia dell’insetto l’ho scritto bene invece?

[Faussone]

D’accordo. Il momento di inerzia dell’insetto l’ho scritto bene invece?

Il momento di inerzia dell'insetto rispetto al centro di massa è pari a $md^2$ con $m$ massa dell'insetto e $d$ distanza dell'insetto dal centro di massa (all'inizio nulla e alla fine di valore calcolabile, nota la distanza del centro di massa dal centro del disco).

[m.e._liberti]

D’accordo. Il momento di inerzia dell’insetto l’ho scritto bene invece?

Il momento di inerzia dell'insetto rispetto al centro di massa è pari a $mr^2$ con $m$ massa dell'insetto e $r$ distanza dell'insetto dal centro di massa (all'inizio nulla e alla fine di valore calcolabile, nota la distanza del centro di massa dal centro del disco).

Mi viene un numero troppo piccolo, non è anomalo? Ho calcolato $I_c=1/2Mr^2+Mx^2+mr^2=0,00003359375 kg*m^2$ dove $x^2=(m^2r^2)/(m+M)^2$

[Faussone]

Mi viene un numero troppo piccolo, non è anomalo? Ho calcolato $ I_c=1/2Mr^2+Mx^2+mr^2=0,00003359375 kg*m^2 $ dove $ x^2=(m^2r^2)/(m+M)^2 $

Il fatto che vengano numeri piccoli non è anomalo, comunque il momento di inerzia finale rispetto al centro di massa, usando la tua notazione è:

$I_c=1/2Mr^2+Mx^2+m(r-x)^2$
visto che l'insetto alla fine , quando è sul bordo del disco, dista $r-x$ dal centro di massa.