energia interna di un cilindro

[giantmath]

svolgendo degli esercizi mi è sorto questo dubbio: è giusto dire che la variazione di energia interna di un cilindro adiabatico è nulla, invece variazione di energia interna di un cilindro isolato dall'esterno è $\DeltaU=C\DeltaT$? me lo chiedo perchè nel primo caso non mi viene data la capacità termica, nel secondo caso sì

[giantmath]

l'esercizio è questo: una mole di gas ideale biatomico è contenuta in un cilindro adiabatico chiuso da pistone di massa trascurabile e adiabatico. all'inizio il gas è in equilibrio con l'ambiente. nel cilindro è contenuto un mulinello azionato da un motore di potenza P=50W per $\Deltat=1min$, e il sistema raggiunge un nuovo equilibrio. si calcoli $\DeltaT$.


$\DeltaU_{cil}+\DeltaU_{gas}=Q_{cil}+Q__{gas}-L_{gas}-L_{cil}$
ora, è ovvio che $ L_{cil} =0$ e $Q__{cil}+Q__{gas}=0$ quindi resta
$\DeltaU_{cil}+\DeltaU_{gas}=-L_{gas}$.

se è vero quanto detto prima allora $\DeltaU_{cil}=0$ perchè adiabatico, allora resta $\DeltaU_{gas}=-L_{gas}$
=> $nc_v\DeltaT=-L_{gas}=-p_{atm}(V_2-V_1)-P\Deltat$ ma $-L_{gas}=-p_{atm}(V_2-V_1)$ risulta negativo nonostante sia un'espansione.. perchè?

[Faussone]

$\DeltaU_{cil}=0$ perchè adiabatico, allora resta $\DeltaU_{gas}=-L_{gas}$
=> $nc_v\DeltaT=-L_{gas}=-p_{atm}(V_2-V_1)-P\Deltat$ ma $-L_{gas}=-p_{atm}(V_2-V_1)$ risulta negativo nonostante sia un'espansione.. perchè?

Se scrivi il primo principio come
$Delta U= Q - L$
allora
$Delta U$ è positivo se l'energia interna finale è maggiore di quella iniziale (ma questa è più una conseguenza, dei segni delle altre quantità e vale per definizione di Delta.)
$Q$ è positivo se il calore è assorbito dal sistema
$L$ è positivo se il lavoro è fatto dal sistema.

In questo caso il primo principio per il gas si scrive allora:
$Delta U = - (-P Delta t * 60)$

visto che il sistema è adiabatico ed il lavoro è fatto sul gas e non dal gas, per cui ci va un segno meno davanti al lavoro che deve essere negativo, la variazione di energia interna pertanto risulta positiva, come ci si poteva aspettare.

[giantmath]

potresti spiegarmi perchè non compare Q? se il motivo è quello che ho ipotizzato io?
il mio libro scrive che $ L+\DeltaU=0 $ in cui $ L=p_a(V_2-V_1)+L_{mot} $ e $ \DeltaU=nc_v\DeltaT $ .
mi chiedevo se $ Q_{cil}=0 $ perchè è adiabatico oppure forse perchè la capacità termica è trascurabile?

[Faussone]

potresti spiegarmi perchè non compare Q? se il motivo è quello che ho ipotizzato io?

[Avevo letto male prima e ho cancellato la precedente risposta] $Q$ non compare perché la trasformazione è adiabatica, il gas non scambia calore (in questo esempio non è data la capacità termica del cilindro, quindi cilindro e gas sono un tutt'uno, non serve dividere i due sistemi).

[Faussone]

Non avevo capito che il pistone si muove e fa variare il volume del gas da $V_1$ a $V_2$, nella mia risposta precedente avevo assunto il pistone fermo.
Comunque se il pistone si muove andrebbe specificato meglio come (se l'espansione è reversibile o meno, mi pare di intendere si tratti di espansione irreversibile contro la pressione atmosferica). In ogni caso questo non è essenziale per il dubbio che hai, credo....

[giantmath]

dire che è adiabatica significa che $ Q_{sist}+Q_{amb}=0 $ ma non che $ Q_{sist}=Q_{amb}=0 $ , o sbaglio? quindi anche se considerassi gas+cilindro come unico sistema il mio dubbio rimane

[Faussone]

Scusami ma cosa c'entra l'ambiente?
Si parla di un pistone e cilindro adiabatici che significa che isolano il gas dall'ambiente. E pertanto non c'è scambio di calore tra sistema e ambiente. Non capisco cosa è che non ti sia chiaro francamente.
Non ha senso poi la distinzione tra i calori che fai, cosa sono per te $Q_"sistema"$ e $Q_"ambiente"$?

[giantmath]

ok ma:

un cilindro è chiuso da un pistone al quale si applica una forza, comprimendo il gas. il libro scrive $\DeltaU=-p_f\DeltaV$ invece secondo quanto mi hai detto tu, dato che il lavoro è fatto sul gas, dovrei scrivere $\DeltaU=-(-p_f\DeltaV)$

[Faussone]

ok ma:

un cilindro è chiuso da un pistone al quale si applica una forza, comprimendo il gas. il libro scrive $\DeltaU=-p_f\DeltaV$ invece secondo quanto mi hai detto tu, dato che il lavoro è fatto sul gas, dovrei scrivere $\DeltaU=-(-p_f\DeltaV)$

No, il cambio di segno lo avevo scritto per il lavoro del mulinello, non per quello del pistone. In quel caso il $DeltaV_f$ già garantisce il segno giusto, in un certo senso.