aiuto esercizio di fisica, elettrostatica

[samurd]

Buonasera, chiedo aiuto per questo esercizio di elettrostatica:

Una superficie cilindrica di altezza illimitata, di raggio $R_1$ e con densità di carica superficiale $sigma_1$, è disposta in modo coassiale ad una seconda superficie cilindrica di raggio $R_2 > R_1$ e carica superficialmente con densità $sigma_2$. Quale deve essere il rapporto $sigma_2/sigma_1$ affinché sia nullo il campo per $r < R_1$? E per $r > R_2$? Calcolare il campo elettrico per $R_1 < r < R_2$. Sia $r$ la distanza dall’asse dei due cilindri.

è già stato risolto dal mio professore ma non ho capito molto, in particolare perchè all'interno del primo cilindro il campo risulta essere nullo per le simmetrie e perchè il flusso da integrale diventa un semplice prodotto tra il campo e la superficie cilindrica e infine perchè nel calcolo del campo viene sentito solamente il contributo del cilindro interno.

ringrazio in anticipo!

[mgrau]

Non è tanto chiaro. C'è anche il filo, oltre ai due cilindri?
Diamo per noto il campo prodotto da un filo carico (bisognerebbe però avere la densità lineare di carica, che invece non è nominata)
Diamo anche per noto che il campo di un cilindro carico di raggio $r$ è, all'esterno, come quello di un filo, con la densità superficiale di carica (sul cilindro, $sigma$) e quella lineare (sul filo, $lambda$) legate da $lambda = 2pirsigma$, e nullo all'interno.
A questo punto, il campo per $r < R_1$ è quello del filo, e non dipende nè da $sigma_1$ nè da $sigma_2$, e allo stesso modo, per $R_1 < r < R_2$ il campo non dipende da $sigma_2$. Per $r > R_2$ il campo è la somma di quello del filo (se c'è) e dei due cilindri.

[samurd]

ho corretto ora e ho cercato di scriverlo nel modo piu chiaro possibile; le soluzioni dovrebbero essere:
_$E(r<R_1)=0$ per ogni $sigma_1$, $sigma_2$ (poichè all'interno del primo cilindro non c'è campo per simmetria)
_$E(r>R_2)=0$ per $sigma_2/sigma_1=-R_1/R_2$
_$E(R_1<r<R_2)=(sigma_1*R_1)/(epsilon_0*r)$

[mgrau]

le soluzioni dovrebbero essere:
_$E(r<R_1)=0$ per ogni $sigma_1$, $sigma_2$ (poichè all'interno del primo cilindro non c'è campo per simmetria)
_$E(r>R_2)=0$ per $sigma_2/sigma_1=-R_1/R_2$
_$E(R_1<r<R_2)=(sigma_1*R_1)/(epsilon_0*r)$

Sì certo: e qual è il problema?

[samurd]

non capisco perchè all'interno del primo cilindro il campo risulta essere nullo per le simmetrie, perchè il flusso da integrale diventa un semplice prodotto tra il campo e la superficie cilindrica e infine perchè nel calcolo del campo viene sentito solamente il contributo del cilindro interno. Allego l'immagine della risoluzione per comodità

[mgrau]

non capisco perchè all'interno del primo cilindro il campo risulta essere nullo per le simmetrie,

Per la simmetria del sistema il campo deve essere:
- radiale
- dipendente solo dalla distanza dall'asse
Se prendi una superficie gaussiana cilindrica di altezza $h$ e raggio $r$ , interna e coassiale, il flusso è nullo per il teorema di Gauss ($Phi = 0$), ma d'altra parte $Phi = E*2pir * h$, da cui $E = 0$

perchè il flusso da integrale diventa un semplice prodotto tra il campo e la superficie cilindrica

Per le caratteristiche del campo dette sopra: il campo è radiale, quindi perpendicolare alla superficie esterna del cilindro, e costante sulla stessa superficie, quindi esce dall'integrale; sulle basi del cilindro invece il campo è parallelo alla superficie e non produce flusso.

e infine perchè nel calcolo del campo viene sentito solamente il contributo del cilindro interno.

Perchè, per $R_1 < r < R_2$ siamo fuori dal cilindro interno, che quindi produce un campo elettrico, ma dentro il cilindro esterno, che, per quanto detto sopra, non produce un campo al suo interno.
Invece, per $r > R_2$ entrambi i cilindri contano, e il campo è nullo solo se le densità sono quelle giuste.

[samurd]

Per la simmetria del sistema il campo deve essere:
- radiale
- dipendente solo dalla distanza dall'asse
Se prendi una superficie gaussiana cilindrica di altezza $h$ e raggio $r$ , interna e coassiale, il flusso è nullo per il teorema di Gauss ($Phi = 0$), ma d'altra parte $Phi = E*2pir * h$, da cui $E = 0$

è nullo il flusso per il teorema di Gauss poichè è nulla la carica interna ed è presente solo quella superficiale? La simmetria mi permette solo di fare considerazioni sulla superficie gaussiana

Perchè, per $R_1 < r < R_2$ siamo fuori dal cilindro interno, che quindi produce un campo elettrico, ma dentro il cilindro esterno, che, per quanto detto sopra, non produce un campo al suo interno.
Invece, per $r > R_2$ entrambi i cilindri contano, e il campo è nullo solo se le densità sono quelle giuste.

sempre per il fatto che per il secondo cilindro la carica interna è nulla? mentre il primo ha carica superficiale radiale che genera un campo verso l'esterno?

[mgrau]

è nullo il flusso per il teorema di Gauss poichè è nulla la carica interna ed è presente solo quella superficiale?

Sì

La simmetria mi permette solo di fare considerazioni sulla superficie gaussiana

Cosa intendi? La simmetria ti permette di esprimere il flusso come prodotto del campo per la superficie laterale, senza integrali

sempre per il fatto che per il secondo cilindro la carica interna è nulla? mentre il primo ha carica superficiale radiale (?) che genera un campo verso l'esterno?

Sì

[samurd]

perfetto, ho capito tutto finalmente, grazie mille!