Equazioni di Poisson per potenziale elettrico e magnetico

[Yametsu]

Il mio dubbio è il seguente:

In elettromagnetismo è possibile definire un potenziale scalare elettrico ed un potenziale vettore magnetico e si dimostra che rispettano le seguenti equazioni:

$\nabla ^2V = -\rho /\epsilon _0$

$\nabla ^2\vecA = -\mu_0\vecj $

Che vengono rispettivamente risolte da:

$V = 1/(4\pi\epsilon_0) \int (\rho dV')/||\vecr - \vecr'||$
$\vecA = \mu_0/(4\pi) \int (\vecj dV')/||\vecr - \vecr'||$

Nei testi che ho consultato queste soluzioni non vengono motivate e volevo sapere da dove vengono fuori.
Quello che ho fatto cercando di darmi una risposta e usare un metodo simile a quello usato per risolvere l'equazione di Laplace, ho supposto essere la soluzione del tipo $f(r)$ dove $r = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2)$

Allora $\nabla^2f = (\partial^2 f)/(\partial r^2) + 2/r (\partial f)/(\partial r)$

Quindi per essere una soluzione $f$ deve verificare l'equazione differenziale lineare:
$(\partial^2 f)/(\partial r^2) + 2/r (\partial f)/(\partial r) = -\rho/\epsilon_0$

Da cui la soluzione dell'omogenea associata sarà del tipo $c_1/r + c_2$
Mentre una soluzione particolare dell'equazione completa usando il metodo di variazione delle costanti risulta essere: $1/r \int \rho/\epsilon_0 r^3 dr - \int \rho/\epsilon_0 r dr$
Quindi la soluzione generale sarà:
$f(r) = c_1/r + c_2 + 1/r \int \rho/\epsilon_0 r^3 dr - \int \rho/\epsilon_0 r dr$
Imponendo come condizione al contorno che $f(r) = 0$ se $r\rightarrow\+infty$
La soluzione diventa $f(r) = 1/r(c_1 + \int \rho/\epsilon_0 r^3 dr )$

Da qui non so più come procedere per ricondurmi alla soluzione presentata all'inizio, inoltre diventa un problema il fatto che $\rho = \rho(x,y,z)$ e sta venendo integrata in $r$.

Se qualcuno sa aiutarmi a risovere questo problema gli sarei grato.
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà

[ingres]

Per rispondere in modo esaustivo alla tua domanda conviene trovare il testo con calcolo completo che, non ipotizzando simmetria sferica, faccia vedere che l'equazione di Poisson è soddisfatta dalle formule in questione (ad es. per il potenziale vettore secondo Wikipedia il testo di Mencuccini e Silvestrini, p. 260)

Più semplice dire perchè le formule in questione sono una soluzione del potenziale elettrico e magnetico,
ottenibili per altra via che non sia la risoluzione diretta dell'equazione di Poisson.

Potenziale elettrico
Per un sistema di cariche partendo dalla legge di Coulomb ed integrando il campo elettrico si trova che

$V = Sigma 1/(4 pi epsilon_0) q_i/abs(vec r- vec r_i)$

Appare chiaro che se suddivido una distribuzione continua in tante cariche infinitesime estendendo la formula sopra otterrò proprio la formula integrale.


Potenziale vettore magnetico
Si parte dall'estensione della formula di Biot-Savart ad un conduttore avente una densità di corrente $vec J$ e che puoi trovare qui https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Biot-Savart

Tale formula può quindi essere utilizzata per calcolare direttamente $vec A$, vedi a riguardo https://it.wikipedia.org/wiki/Potenzial ... _magnetico alla voce "Derivazione esplicita del potenziale vettore"