Esercizio su condensatori

[Karim_the_dream]

Buonasera, mi servirebbe una mano con il seguente esercizio:



Ciò che ho provato a fare per calcolare $ C_1 $ è stato considerare $ V_0 $ e $ V_4 $. Dato che la prima vale 15 V e la seconda 10 V e $ C_1 $ e $ C_4 $ sono collegati in serie e dunque per questi 2 condensatori passa la stessa carica $ Q = Q_1 = Q_2 $, mi sono ricavato la carica $ Q $ e successivamente dalla seguente relazione:

$ V_0 = V_1 + V_4 $ ---> $ V_0 = Q/C_1 + V_4 $

Ho ricavato:

$ 15 = 20/C_1 + 10 $ ---> $ C_1 = 20/5 = 4 $ pF

Che è un risultato diverso da quello riportato dalla soluzione del problema, cioè 2 pF. Vorrei capire se e dove sbaglio nel mio ragionamento.

[ingres]

C1 e C4 non sono in serie. Conviene che consideri C12 parallelo di C1 e C2, e C34 parallelo di C3 e C4. C12 e C34 sono effettivamente in serie, avranno la stessa carica e sono sottoposti rispettivamente alle tensioni di 5 V e 10 V. Quindi ..

[RenzoDF]

Leggendo il testo mi aspettavo che ai capi di C4 ci fosse una tensione V4, non V1.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sul parallelo inferiore sono presenti 10 volt, su quello superiore 5; visto che per una serie capacitiva le tensioni stanno nel rapporto inverso ai valori capacitivi, ne segue che

$(C_1+C_2)/(C_3+C_4)=10/5$

[Karim_the_dream]

Allora

Ingres

sono riuscito a risolvere a grazie ai tuoi consigli i primi due punti del problema. Considerando i condensatori C1 e C2 in parallelo e poi i condensatori C3 e C4 in parallelo abbiamo i condensatori equivalenti C12 e C34 che sono in serie e quindi avranno la stessa carica $ Q_12=Q_34 = Q $ ricavabile considerando che essendo i condensatori C3 e C4 collegati in parallelo avranno come carica $ Q_34 $ la somma delle rispettive singole cariche $ Q_3 $ e $ Q_4 $, le quali sono facilmente ricavabili avendo a disposizione sia la ddp che è la stessa per C3 e C4 che le capacità C3 e C4. Ora la ddp associata condensatori C12 e C34 rispettivamente è differente ed è data dalla somma di $V_4 $ e $ V_1 $ che dovrà essere uguale alla $ V_0 $ del generatore. Da ciò ricavo la $ V_1 $ e quindi poi successivamente la C12 da cui riuscirò a risalire alla C1 incognita. Riporto solo gli ultimi passaggi:

$ C_12 = Q_12/V_1 = 12 $ pF

$ C_12 = C_1 + C_ 2 $ ----> $ C_2 = C_12 - C_2 = 2 $ pF

Successivamente per il secondo punto mi sono ricavato la capacità equivalente relativa a C12 e C34 messi in serie e ho utilizzato quest'ultima per calcolare l'energia elettrostatica totale del sistema:

$ U_{Tot} = 1/2C_{eq}V_0^2 = 4,5*10^-10 $ J

Ora ho difficoltà però nell'ultimo punto. Vi è un inserimento di materiale dielettrico nel solo condensatore C1 e c'è da calcolare il lavoro svolto dal generatore. Ho provato a calcolare il contributo dato da C1 all'energia singolarmente e poi ad aggiungerlo agli altri singoli contributi degli altri condensatori ma la soluzione è differente dal mio risultato. Come dovrei ragionare in questo caso? Il lavoro svolto dal generatore è legato alla energia immagazzinata dai condensatori giusto?

[ingres]

Il lavoro svolto dal generatore è legato alla energia immagazzinata dai condensatori giusto?

Giusto. Prova a ricalcolare la nuova capacità del condensatore C1 e quindi a ricalcolare la capacità totale del sistema di condensatori $C'_(eq)$. Riutilizzando la formula che hai già scritto per il punto 2, troverai la nuova energia e quindi dal delta con la precedente potrai risalire al lavoro del generatore.

Fare i conti solo su C1 mantenendo costante la tensione/energia sugli altri non è corretto perchè in realtà varierà C12 e quindi anche la distribuzione di tensione tra C12 e C34.

[Karim_the_dream]

Il lavoro svolto dal generatore è legato alla energia immagazzinata dai condensatori giusto?

Giusto. Prova a ricalcolare la nuova capacità del condensatore C1 e quindi a ricalcolare la capacità totale del sistema di condensatori $C'_(eq)$. Riutilizzando la formula che hai già scritto per il punto 2, troverai la nuova energia e quindi dal delta con la precedente potrai risalire al lavoro del generatore.

Fare i conti solo su C1 mantenendo costante la tensione/energia sugli altri non è corretto perchè in realtà varierà C12 e quindi anche la distribuzione di tensione tra C12 e C34.

Allora ho calcolato la nuova Capacità del condensatore C1:

$ C'_1 = \epsi_r *C_1 = 10 $ pF

Dopodiché ho calcolato la nuova C12:

$ C'_12 = C'_1 + C_2 = 20 $ pF

Ora da questa calcolo la nuova $C'_(eq)$:

$1/C'_(eq) = 1/C'_12 + 1/C_34$ ---> $ C'_{eq} = 4,6 $ pF

Dalla quale ho:

$ U'_{Tot} = 1/2 C'_{eq}V_0^2 = 5,18*10^-10$ J

$ L_{Gen} = - \DeltaU = 6,8*10^-11 $

Solamente che il risultato dovrebbe essere:

$ L_{Gen} = 1,4*10^-10 $

[ingres]

Quindi arrontondando il tuo risultato, che è giusto e che rappresenta correttamente (non ho rifatto i calcoli ma mi fido) la variazione di energia del sistema di condensatori, viene un valore che è la metà del lavoro del generatore.

Questo fatto non dovrebbe stupirti perchè il rendimento della carica di un condensatore è sempre il 50% a prescindere dal fatto che ci siano o meno resistenze nel circuito. Ed è anche il motivo per cui ho affermato che è corretto dire che le due energie sono legate (anche se non sono uguali).

Un'interpretazione semplice consta del fatto che per variare l'energia dei condensatori si sarà trasferita una carica $Delta Q$ t.c. $Delta U = 1/2 V Delta Q$, ma questo significa che il generatore ha fatto un lavoro $L = V*Delta Q = 2U$.
Quanto all'energia persa si può spiegare in diversi modi per es. in termini di energia irradiata.
https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso ... densatori#

[Karim_the_dream]

Si, in effetti torna tutto, ti ringrazio infinitamente per l'aiuto.