Problema elettromagnetismo

[spina3003]

Ciao a tutti, sto incontrando qualche difficoltà con questo problema:

Una sbarretta conduttrice di massa $m=9.85*10^-3$ e lunghezza $ a = 0.205 m$, orizzontale, può muoversi senza attrito lungo due guide metalliche parallele tra loro e verticali connesse tramite una resistenza $R = 12.8 \Omega $ in una regione di campo magnetico uniforme ortogonale al piano del circuito e di intensità $ B = 1.45 T$ . All'istante t=0 la sbarretta viene lasciata cadere con velocità iniziale nulla, determinare la velocità in m/s all'istante $t_0 = (mR)/(B^2*a^2)$ (si utilizzi per l'accelerazione di gravità il valore $g = 9,81 m/s^2$).

Il mio ragionamento era questo:

la derivata temporale del flusso di B è l'opposto della fem:

$fem = -d(Bax)/dt = -Bax dx/dt = -Badot x$

dove x è la coordinata che indica la porzione verticale di circuito (che comprende la sbarretta, le due guide e il filo che possiamo immaginare che colleghi le due guide con la resistenza) e cambia col tempo in funzione dello spostamento della sbarretta.

$fem = iR$ quindi $i= -Badot x/R$

per la sbarretta vale $F_L = iaB = -(B^2a^2)/Rdot x$

$ddot x = -(B^2a^2)/(mR)dot x$ ovvero $x = e^((B^2a^2)/(mR)t)$

A questa accelerazione riferita alla forza di Lorentz $F_L $ sommo l'accelerazione g, integro fra t e $t_0$ in dt e ottengo la velocità. Però il risultato non torna. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio? Grazie.

[RenzoDF]

$ddot x = -(B^2a^2)/(mR)dot x$ ovvero $x = e^((B^2a^2)/(mR)t)$

Siamo sicuri?

... A questa accelerazione riferita alla forza di Lorentz $F_L $ sommo l'accelerazione g, ...

... e vai a risolvere la seguente equazione differenziale

$\dot v=-(B^2a^2)/(mR) v +g$

[spina3003]

Scrivendo mi sono dimenticata un meno all'esponente... ma sul quaderno avevo scritto giusto :)

Non mi torna comunque con $x = e^(-(B^2a^2)/(mR)t$

... oppure è sbagliata anche questa? Grazie

[RenzoDF]

... Non mi torna comunque con $x = e^(-(B^2a^2)/(mR)t$ ...

Beh, basta vedere quanto vale x(0) per capirlo, no?

... oppure è sbagliata anche questa?

Direi proprio di sì, ma tu di certo sai risolvere l'equazione differenziale che ti ho indicato, no?

[spina3003]

La risolverei così

$\dot v = -(B^2a^2)/(mR)v$

$v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + c_1$

$\dot v = g$

$v = g*t + c_2 $

Quindi

$v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + c_1 + g*t + c_2 $

$v(0) = 0 $ quindi $c_1 + c_2 = -1 $ ovvero $v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + g*t -1 $

ma non mi torna neanche così...

[RenzoDF]

La risolverei così

$\dot v = -(B^2a^2)/(mR)v$
ma non mi torna neanche così...

Lo credo, non è quella l'equazione differenziale che ti ho chiesto di risolvere.

... $v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + g*t -1 $ ...

Se questa fosse la soluzione, quanto varrebbe $v(\infty)$ ?

[spina3003]

In che senso non è quella? L'ho spezzata in due parti per risolverla ma mi sa che sto facendo confusione...

[RenzoDF]

Scusa, ma abbiamo una eq. diff. del tipo

$y'=-ay+b$

ora io la scriverei direttamente come

$y=k_1\ e^(- at)+b/a$

[spina3003]

Ma derivando b/a che è costante non torna b, torna 0, no?

[RenzoDF]

Scusa, ma non ti capisco.

Giusto per concludere, dalla condizione $y(0)=0$, avremo che $k_1=-b/a$, ne segue che

$y(t)=b/a(1-e^(-at))$