Circuito con induttanza

[spina3003]

Ciao a tutti, non riesco a capire il funzionamento di questo circuito:

sono date due guide parallele orizzontali collegate a un'estremità da un'induttanza $L$. Una sbarretta conduttrice di massa $m$ e lunghezza $a$ è posta tra loro perpendicolarmente a esse, in modo da chiudere il circuito. Il sistema si trova in un campo magnetico $B$ uniforme ortogonale al piano del circuito. La sbarretta è sollecitata da una forza esterna $F_E$ costante nel piano del circuito e ortogonale alla sbarretta stessa. Assumendo trascurabile la resistenza del circuito e la posizione e velocità della sbarretta nulle all'istante iniziale, ovvero che la sbarretta sia a contatto con l'induttanza e la corrente sia nulla all'istante iniziale, determinare la corrente in ampère all'istante $t_0 = \pi/2sqrt((mL)/(B^2a^2))$.

Io avevo impostato il problema considerando che il flusso del campo magnetico è:

$\Phi(B)=Bax=Li$ con $x$ coordinata che indica la posizione della sbarretta nel tempo

La somma delle forze sulla sbarretta è:

$F_(TOT)= F_L + F_E = iaB + F_E$ dove $F_L$ è la forza di Lorentz agente sulla sbarretta.

A questo punto ho sostituito il valore di $i$ ricavato dall'equazione del flusso nell'equazione delle forze, ottenendo:

$\ddot x=F_E/m+(B^2a^2)/(mL)x$

ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $x(t)=(F_EL)/(2B^2a^2)(e^(sqrt((B^2a^2)/(mL))t) + e^(-sqrt((B^2a^2)/(mL))t) - 2) $ e sostituendo $x(t_0)$ in $i=(Bax)/L$ per trovare la corrente in $t_0$

Ma il risultato non torna. Cosa sbaglio nel ragionamento? Grazie :))

[RenzoDF]

Ti chiedo: qual è la relazione fra tensione e corrente in un induttore.

[spina3003]

Direi

$fem = -L(di)/dt$

[RenzoDF]

Ok, diciamo che se usiamo la convenzione degli utilizzatori si può togliere quel segno meno.

Poi come sei andato avanti?

[spina3003]

Io veramente non avevo utilizzato questa formula per risolvere il problema, ma quella del flusso per cui $\Phi (B) = Li$.

Se voglio usare questa però ottengo penso lo stesso risultato:

$L(di)/dt = Ba\dot x$

[RenzoDF]

Ok ... e ora la forza dovuta alla corrente che circola nella barretta che verso ha?

[spina3003]

Su questo avevo un dubbio, sicuramente sta sul piano del circuito ed è perpendicolare alla sbarretta, però non so se va verso l'alto o verso il basso perché non conosco né il verso del campo magnetico né quello della corrente

[RenzoDF]

Beh, basta pensare dal punto di vista energetico.

Il crescere di quella corrente nell'induttore, cosa comporta?

[Quinzio]

La forza di Lorentz si oppone alla causa che l'ha generata.
Quindi su $F_L$ devi mettere un segno meno.
Alla fine dovrebbe risultare un movimento oscillante.

[spina3003]

Grazie a entrambi Renzo e Quinzio per la risposta. Quando c'è una fem indotta la corrente circola in verso opposto rispetto al flusso che l'ha generata. Però non capisco come faccio a sapere che la forza di Lorentz ha verso opposto rispetto alla forza esterna $ F_E $