Problema effetto Hall

[spina3003]

Ciao a tutti ho provato a impostare questo problema ma ho qualche difficoltà...

Se un filo metallico percorso da corrente è immerso in un campo magnetico, compare una differenza di potenziale tra lati opposti del filo. Questo fenomeno è noto con il nome di effetto Hall. Si consideri un filo conduttore di lunghezza $L$ e sezione rettangolare di lati $d$ e $w$. La resistenza elettrica del filo sia $R$ (costante). Il filo viene alimentato con una tensione $V$ applicata tra le estremità ed è immerso in un campo magnetico uniforme e costante di modulo $B$ e direzione parallela allo spigolo di lunghezza $d$. In condizioni stazionarie il campo magnetico non modifica la distribuzione di corrente nel filo, ma modifica la distribuzione spaziale di cariche con creazione di un campo elettrico addizionale che compensa la forza di Lorentz. Sia n (numero di elettroni/$m^3$) la densità volumetrica delle cariche di conduzione nel materiale. Determinare il modulo della velocità di deriva $v_d$ degli elettroni di conduzione.

Se ho capito bene la fisica del problema, la forza di Lorentz e la forza elettrica dovuta al campo elettrico che la compensa devono essere uguali in modulo, con $F_L=qv_dB$ e $F_(El)=qE$ (per come ho interpretato il problema queste due forze sono perpendicolari al piano del foglio se si disegna il filo in modo da vedere la lunghezza $L$ e l'altezza $d$, quindi la velocità di deriva, che è nel verso di $F_(El)$, è perpendicolare a $B$). La corrente si ricava con $i=V/R$. A questo punto io userei la legge di Ampère-Maxwell usando come linea amperiana un rettangolo di lati $d$ e $w$ corrispondente alla sezione del filo, la parte problematica la incontro con $\d\Phi(E)/dt$ che ho svolto così:

$\d(\Phi(E))/dt= d/dt (Ewd) = Ed(dw)/dt= Edv_d$

Ma credo di perdermi qualcosa. Qualcuno può aiutarmi? Grazie :)

[RenzoDF]

Scusa ma non capisco, $w$ non è una delle dimensioni del conduttore prismatico, perché mai dovrebbe essere variabile nel tempo e essere uguale alla velocità di deriva?

[Quinzio]

Ciao a tutti ho provato a impostare questo problema ma ho qualche difficoltà...

Se un filo metallico percorso da corrente è immerso in un campo magnetico, compare una differenza di potenziale tra lati opposti del filo. Questo fenomeno è noto con il nome di effetto Hall.

Gia' da qui inizia la confusione. La tensione di Hall non si manifesta ai capi del filo percorso da corrente.
La tensione di Hall e' ortogonale sia alla corrente che al campo magnetico.
Infatti parlare di un filo in questo esempio e' gia' fonte di confusione, si dovrebbe parlare di un volume o area percorsa da corrente come viene fatto in tutti gli esempi elementari che parlano dell'effetto Hall.

[spina3003]

Scusa ma non capisco, $w$ non è una delle dimensioni del conduttore prismatico, perché mai dovrebbe essere variabile nel tempo e essere uguale alla velocità di deriva?

Ho scritto una cosa che non ha senso in effetti, ho trattato w come se fosse una variabile che indica lo spazio percorso da un elettrone però è chiaramente sbagliato. Non so come procedere :/

[spina3003]

Gia' da qui inizia la confusione. La tensione di Hall non si manifesta ai capi del filo percorso da corrente.
La tensione di Hall e' ortogonale sia alla corrente che al campo magnetico.
Infatti parlare di un filo in questo esempio e' gia' fonte di confusione, si dovrebbe parlare di un volume o area percorsa da corrente come viene fatto in tutti gli esempi elementari che parlano dell'effetto Hall.

Naturalmente il testo non l'ho scritto io... penso che si intenda che i lati opposti del filo sono quelli che hanno dimensioni $L$ e $d$ (mentre in effetti si potrebbe pensare che sia la sezione di dimensioni $d$ e $w$), vero?

[RenzoDF]

... Naturalmente il testo non l'ho scritto io... penso che si intenda che i lati opposti del filo ...

Come dice giustamente Quinzio, il termine "filo" qui non andava bene, era meglio indicarlo come conduttore prismatico, così come ai "lati" del "filo" era preferibile facce laterali (di dimensioni d,L), ad ogni modo, hai risolto?

[spina3003]

Certamente avete ragione ma purtroppo mi trovo nella stessa situazione di dover interpretare un problema non troppo chiaro... che non ho ancora risolto. Il fatto che sia applicata una tensione V vuol dire che devo considerare sia il campo elettrico generato da questa tensione (E=V/L) sia quello aggiuntivo indotto dal campo magnetico. E la somma della forza elettrica data da questi due campi e della forza di Lorentz deve essere nulla giusto?
Ho pensato di trovare il campo elettrico indotto così

$\int \vec E*d\vecl = - d\Phi(B/dt) $ (integrale di linea su curva chiusa)

Scegliendo la sezione di dimensioni w,d del "filo"
Il problema è che per come ho immaginato il problema (ovvero con il campo elettrico parallelo al lato w) la circuitazione del campo elettrico sul contorno di questa sezione è nulla... mentre ovviamente il flusso del campo magnetico attraverso la sezione non lo è. Qualche consiglio?

[ingres]

Il fatto che sia applicata una tensione V vuol dire che devo considerare sia il campo elettrico generato da questa tensione (E=V/L) sia quello aggiuntivo indotto dal campo magnetico. E la somma della forza elettrica data da questi due campi e della forza di Lorentz deve essere nulla giusto?

La tensione V, e quindi il campo E=V/L, crea la corrente che percorre la lamina conduttrice (sono pienamente d'accordo con Renzo e Quinzio che la dizione filo in questo caso sia veramente impropria), ovvero provoca il movimento delle cariche tra le due estremità distanti L.

A causa del campo magnetico le cariche in movimento subiranno una forza deflettente in direzione trasversale ovvero parallela allo spigolo w (la forza di Lorentz deve essere perpendicolare agli altri due spigoli quello della corrente parallela allo spigolo L e quella del campo B parallelo alo spigolo d).
Questo spostamento di cariche creerà a sua volta una differenza di potenziale $V_H$ ovvero un campo $E_H = V_H/w$ parallelo allo spigolo w che contrasterà il campo dovuto alla forza di Lorentz.
Sono quindi questi i due campi ad avere somma nulla.

https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Hall

[spina3003]

Grazie mille ingres! Capito finalmente l'esercizio, sono riuscita a risolverlo (in effetti servono anche meno dati di quelli forniti). Per come l'ho risolto io, non ho neanche calcolato il campo dovuto all'effetto Hall, semplicemente se ho capito bene l'effetto Hall è un caso specifico dell'induzione magnetica su un corpo percorso da corrente, e quindi la spiegazione che era presente nel testo serviva solo a inquadrare "l'aspetto fisico" del problema, correggetemi se sbaglio:

$F_L = qvB$ e per un "filo" $F_L=iLB$ quindi $qvB=iLB$ ovvero $qv=iL$

e visto che $q$ è il prodotto della carica complessiva specifica sul volume (n$e$) per il volume del "filo" (cioè $wdL$) si ha

$n$ $ewdLv=V/RL$
$v= V/(Rn$ $1/(ewd)$

[ingres]

Si, direi che corrisponde appieno alla formula di Wikipedia $h = I/(n*abs(q)*v*b)$, ovvero $v = I/(n*abs(q)*h*b)$

una volta che si consideri che nel caso in questione $I = V/R$, $h=w$, $b = d$, $abs(q) = e$