perplessità potenziale

[zorrok]

Salve,
sto leggendo il libro "Il minimo teorico" di Susskind ed Hrabovsky dove viene più volte affermato che tutte le forze derivano da una funzione potenziale (vedi pag. 88 e 92), ma a me hanno insegnato che solo le forze conservative ammettono un potenziale. Una loro svista o non capisco qualcosa?

[professorkappa]

Bella domanda.
Se avessi una funzione di campo come per esempio $V(x,y,z)=3/2x^2-xy, 7/2y^2, 5z$ si potrebbe ricavare Fx, Fy e Fz per derivazione:
$F=(3x-y,7y, 5)$

Ma quella forza è conservativa? No.

Quindi, secondo la mia modestissima opinione, e aspetto qualcuno che magari mi corregga, l'affermazione è impropria. Ogni F puo essere derivata da una funzione di campo, ma solo se F è conservativa allora la funzione di campo è potenziale.

Aspettiamo altri input di conferma o sconfessione.

[ingres]

Provo a dare un contributo alla discussione.
Da un punto di vista matematico poichè si richiede che la funzione potenziale $U$ di un campo $vec F$ non solo soddisfi al fatto che $vec F = grad(U)$ (ovvero che le componenti di F soddisfino la condizione di Schwarz sulle derivate miste), ma anche che ogni percorso chiuso abbia circuitazione nulla, direi che ammettere un potenziale ed essere conservativi sono sinonimi.
Tuttavia, se si prescinde dalla condizione sulla circuitazione e ci si limita alla sola condizione sul gradiente, si possono effettivamente definire dei "potenziali generalizzati" anche per alcune funzioni non conservative.
Ad es. un caso notevole è la funzione di dissipazione di Rayleigh
(si veda ad es. https://www.dma.unifi.it/~frosali/didat ... parte1.pdf par. 7.5)

[professorkappa]

@ingres. Vado a memoria, ma le condizioni di Schwarz non imponevano che $nabla xx F=0$????
Perche quella è la condizione di conservatività.

[ingres]

Perche quella è la condizione di conservatività.

La condizione di essere un campo irrotazionale (ovvero la condizione sulle derivate miste) è una condizione necessaria ma non sufficiente per garantire la conservatività.
(vedi ad es. https://math-diism.univpm.it/garrione/w ... oriali.pdf Proposizione 1.7 e l'Esempio 1.8).

[professorkappa]

Ah, ok. Era quello che dicevo io, solo che avevo frainteso la tua frase precedente.