Determinare misure dell'impulso

[keyzan1]

Ciao ragazzi, ho bisogno di un aiuto per questo esercizio, dal momento che non ho a portata di mano le soluzioni non capisco se il mio ragionamento è giusto. L'esercizio in questione è il seguente:



Dalla teoria so che questa funzione è quella che descrive una particella in una buca deltiforme di potenziale se considerassimo:
$ rho = 1/sigma $

Infatti se consideriamo il potenziale $ V(x) = alpha delta(x) $ dove il $ delta(x) $ è la delta di Dirac, piccata in $ x = 0 $. Se $alpha < 0$ e se trattiamo energie $E < 0$ (quindi stati legati), otteniamo proprio quella funzione (con costante di normalizzazione pari a $ A = sqrt(rho ) $ ). Però nella funzione c'è un 2 in più che non so come interpretare.

A questo punta dalla teoria so che l'energia dello stato legato è unica ed è $ E = ħ^2 rho ^2/(2m) $ Da qui mi ricavo l'unico esito dell'impulso che è: $ P = sqrt(2mE) = ħrho $

Secondo voi il ragionamento è giusto? Quel 2 come lo interpreto? Dovrei considerare $ rho = 1/(2sigma) $ ?

[Lampo1089]

No sei completamente fuori strada. La trasformazione che lega le funzioni d'onda delle due rappresentazioni è la trasformata di Fourier.

[Lampo1089]

btw, la soluzione è:

\[
\psi(p) = \sqrt{\frac{2\sigma}{\pi \hbar}}\frac{1}{1 + p^2\frac{\sigma^2}{\hbar^2}}
\]

e di conseguenza la (densità di) probabilità:

\[
P(p) = |\psi(p)|^2 = \frac{2\sigma}{\pi\hbar} \frac{1}{\left(1+p^2\frac{\sigma^2}{\hbar^2}\right)^2}
\]

Da notare che il testo fornisce una funzione d'onda non normalizzata, e pertanto ho preliminarmente corretto il coeff di normalizzazione della funzione data.

[keyzan1]

ok grazie lampo, quindi l'impulso trovato da me non ha nessun significato fisico?

Poi effettivamente hai ragione non ci avevo fatto caso, dal calcolo ho ottenuto una costante di normalizzazione pari a $sqrt(2)$. Quindi quel 2 di cui parlavo se ne va. Adesso sto provando a calcolare la trasformata di Fourier:

$ int_(-∞)^(∞) 1/(sqrt(2pisigma)) e^(-|x|/sigma)*e^(ikx) dx $

Però mi esce un risultato diverso dal tuo. Per calcolare l'integrale l'ho prima diviso in due parti: tra -∞ e 0 e poi tra 0 e ∞ per poter togliere il valore assoluto, però poi mi esce il risultato:

$ psi(k) = sqrt((2sigma)/(pi))(1/(k^2+sigma^2)) $

E poi considerando $k^2 = p^2/ℏ^2$ ottengo:

$ psi(p) = sqrt((2sigma)/(pi))(sigma/(p^2/ℏ^2+sigma^2)) $

che è diversa dalla tua. Però se invece considero che $rho = 1/sigma$ allora ho:

$ psi(p) = sqrt((2rho)/(pi))(1/(p^2/ℏ^2rho^2+1)) $

Che è molto più simile alla tua anche se mi manca un $ℏ$ al denominatore. Quindi forse intendevi $rho$ e non $ sigma$?

Quindi mi sembra di capire che il momento non è quantizzato ed è legato alla larghezza della buca di potenziale infinita (come è giusto che sia). Se avessimo aggiunto i tempi sarebbe cambiato qualcosa? quando posso vedere la funzione come somma di due onde propaganti con un impulso definito?

[Lampo1089]

Che è molto più simile alla tua anche se mi manca un ℏ al denominatore. Quindi forse intendevi ρ e non σ

no, confermo il risultato che ho riportato nel mio post.

Se avessimo aggiunto i tempi sarebbe cambiato qualcosa?

premesso che l'esercizio non specifica la dinamica del sistema, la risposta generica è lo stato evolverà nel tempo. Il come dipende dall'hamiltoniana. Hamiltoniane diverse forniranno risposte diverse.
Alcuni casi limite:
1) particella libera: nella base degli impulsi, la funzione d'onda evolve per un fattore di fase proporzionale al tempo t (supponendo lo stato dato al tempo zero). Nella base delle posizioni, si tratta di antitrasformare la funzione d'onda (cosa che dubito sia possibile fare analiticamente)
2) buca potenziale deltiforme: lo stato non evolve nel tempo (acquista un fattore di fase dipendente dal tempo) , essendo un autostato dell'energia