Lo strano effetto di un'asta non rigida

[professorkappa]

Buongiorno a tutti.
Qualche giorno fa sono incappato in una discussione interessante.

La questione era in questi termini:

Un asta di massa m, lunghezza L e rigidità $k=(EA)/L$ ha un estremo incernierato e ruota su un piano orizzontale con velocità angolare $omega$. All'altro estremo è saldata una massa M. $E$ è il modulo di Young, e $A$ è la sezione della barra (o del cavo, se preferite)

Il sistema è a regime.
A un certo istante il vincolo si rompe.

La domanda era: che traiettoria prende la massa da quel momento in poi?

Il post non finirà qui: una volta appurato cosa succede, vorrei vedere se si riesce a descrivere il moto immediatamente successivo al distacco con equazioni. Io ho già buttato giù qualcosa, ma non ho ancora terminato. Devo dire che, per chi è appassionato, il quesito è interessante e non banale (lo è per me, almeno).

Le ultime 3 righe sopra vi suggeriscono che la massa M non parte per la tangente , cosi tagliamo la testa al toro!

Nota: non mi interessa descrivere il moto per t elevato. Bastano i primi istanti dopo il distacco. Passato quel lasso di tempo, il moto non è di interesse (e peraltro facilmente descrivibile).

Saluti a tutti e attendo fremente le vostre considerazioni.

[Faussone]

@professorkappa
Parli di M>>m però nel testo hai usato solo M. m è la massa saldata all'estremità?

[professorkappa]

Hai ragione, ho corretto, e ho tolto anche il vincolo M>>m, si puo discutere in generale.

[Faussone]

Vedo che nessuno ha risposto, confesso che io non sono sicuro di aver colto quello che intende professorkappa, quindi attendevo prima qualche altro input
A me pare che al solito il centro di massa di asta e massa dopo il distacco debba viaggiare di moto rettilineo uniforme e che il momento angolare rispetto al perno attorno cui ruotava l'asta debba conservarsi. Se l'asta prima era allungata, per via della resistenza vincolare e delle inerzie in gioco, poi quando si stacca dal perno di rotazione avrà un ritorno elastico calcolabile (trascurando lo smorzamento si può calcolare la pulsazione del sistema che si comprimerebbe e allungherebbe all'infinito), il tutto però in modo da rispettare il moto rettilineo uniforme del centro di massa e la conservazione del momento angolare. Non so se pk si riferisse a questi conti però....

[professorkappa]

Niente, la discussione era sul fatto che la massa "non si accorge" che il vincolo si è rotto fino a che l'onda di pressione dovuta alla decompressione dell'asta non la raggiunge.
Quindi per un certo periodo di tempo continua a viaggiare su un arco di circonferenza. Quando l'asta si è rilassata, la massa parte per la tangente.

Ovviamente la maggior parte asseriva che la massa partisse per la tangente al momento esatto della rottura del vincolo, ma secondo me non è cosi: piu il vincolo è elastico e massivo, piu la massa viaggia (dopo la rottura del vincolo) su un arco di circonferenza.
In condizioni limite (vincolo senza massa e infinitamente rigido, (il classico caso di massa legata a un filo inestensibile senza massa), la massa parte immediatamente per la tangente al momento della rottura del vincolo.

Mi domandavo se era possibile, date le caratteristiche di rigidezza e massa del vincolo, calcolarne il tempo di rilassamento, e quindi la lunghezza dell'arco di corconferenza prima che la massa parta per la tangente. Non mi riesce di farlo però.

Arrivo a scrivere che la lunghezza dell'asta sottosforzo si trova con saint-venant, tenendo conto che l'asta è sottoposta a una forza centrifuga distribuita (dovuta alla sua stessa massa) piu la forza centrifuga della massa saldata.
Ma non riesco a calcolare la legge con cui si rilassa.

[Quinzio]

La prima domanda che mi viene da fare: dopo la rottura il baricentro non inizia a viaggiare in linea retta ?

[Faussone]

@professorkappa
Sono d'accordo con quanto hai scritto.
Il discorso secondo me e è analogo a quello che accade all'estremo di una molla con massa distribuita, tenuta verticalmente all'altro estremo quando si lascia cadere: l'estremo in basso resta fermo finché non gli arriva l'onda di compressione decompressione. Ovviamente il centro di massa cade sempre con accelerazione $g$ invece.
Ne avevamo già parlato in questo forum e qualcuno aveva pure inviato link a filmati che si trovano facilmente in rete mi pare.

Certo calcolare quantitativamente il tutto in questo caso credo sia più complicato, ritengo che per il richiamo elastico valgono ragionamenti analoghi a quelli fatti per questo quesito, ma è da sbattersi un poco.
Forse conviene calcolare le condizioni iniziali al momento del distacco e scrivere le equazioni del sistema tramite lagrangiana.