TESTO: Una piastra di massa M=100 kg scivola senza attrito con una velocità vo= 5,00 m/s su un piano orizzontale. A un certo istante, sul bordo anteriore della piastra viene posto, con velocità nulla rispetto al piano, un punto materiale di massa m=10 kg. Assumendo che il coefficiente di attrito dinamico tra punto materiale e piastra sia pari a ud=0,5, si determini la lunghezza minima che deve avere la piastra affinché il punto materiale non ne cada giù.
RAGIONAMENTO CHE HO SEGUITO: ho considerato la piastra come il corpo 1 e il punto materiale come il corpo 2.
Ho considerato che la velocità della piastra (5,00 m/s) diretta verso destra e quindi ho pensato che il punto materiale tenda ad andare all’indietro, verso sinistra e quindi che la forza di attrito dinamico che agisce sul punto materiale sia rivolta verso destra in quanto si oppone a questo “moto all’indietro” del punto materiale. Ho pensato inoltre che siccome la forza di attrito che agisce sul punto materiale viene fatta dalla piastra, allora per il terzo principio della dinamica sulla piastra agisce una forza con lo stesso modulo e di verso opposto (cioè diretta verso sinistra).
Allego lo schema delle forze.
Ho considerato L la lunghezza della piastra (corpo 1), Fd la forza di attrito dinamico che agisce sul punto materiale e F la forza con lo stesso modulo e di verso opposto a Fd, che agisce sulla piastra. Considerando lo schema delle forze, ho pensato che la piastra rallenta e quindi che l’istante finale sia l’istante in cui la piastra si è fermata e che il punto materiale non cade giù se al massimo la sua posizione corrisponde con quella del bordo posteriore della piastra nell’istante finale. Pertanto ho considerato che nell’istante iniziale (istante in cui il punto materiale viene posto sulla piastra) la posizione del bordo posteriore della piastra è 0 m (x1(to)= 0.0 m) e quella del punto materiale è L (lunghezza della piastra), dato che viene posto sul bordo posteriore della piastra (x2(to)=L). Nello svolgimento considero v1(to)= 5,00 m/s, ovvero la velocità del bordo posteriore della piastra nell’istante iniziale e v2(to)=0,00 m/s la velocità del punto materiale nell’istante iniziale.
- Ho calcolato il valore della forza di attrito
Fd= $ud*m*g$ = $0,5*10*9,81$ = 49,05 N
F=Fd= 49,05 N (forza che agisce sulla piastra, per il terzo principio della dinamica)
- Ho calcolato il tempo impiegato dalla piastra a fermarsi (v1(tf)=0,0 m/s)
acc1= $F/M$ = 49,05 N/100 kg= 0,4905 m/s^2(accelerazione del corpo 1, ovvero della piastra)
acc2= $Fd/m$ = 49,05 N/10 kg= 4,905 m/s^2 (accelerazione del corpo 2, ovvero del punto materiale)
v1(tf)= v1(to) - $acc*tf$
0.0 $m/s$ = 5.0 $m/s$ - $(0,4905 m/s^2)*(tf)$
tf= 10,19 s
Considerando che il punto materiale non cade giù se al massimo la sua posizione corrisponde con quella del bordo posteriore della piastra nell’istante finale, ho posto
x1(tf)= x2(tf)
x1(to) + v1(t0)*(tf) - 0.5*acc1*tf^2= x2(to) + v2(to)*(tf) - 0.5*acc2*tf^2
Siccome avevo detto che la posizione del punto materiale nell’istante iniziale, rispetto alla posizione del bordo posteriore della piastra, è pari a L, ovvero la lunghezza della piastra, posso considerare x2(to)=L e ne ho ricavato l’espressione:
x2(to)= x1(to) + v1(t0)*(tf) - 0.5*acc1*tf^2 - v2(to)*(tf) + 0.5*acc2*tf^2
x2(to)= L= 280,14 m
Vorrei chiedere se il ragionamento che ho seguito può essere giusto oppure se ho commesso degli errori.
Grazie mille
Cristian
