Velocità nel moto piano, componenti polari

[paolo1712]

Ho un dubbio sulle componenti polari della velocità.
Data una generica traiettoria curvilinea nel piano, definito $vec(r)=vec(OP)$ il vettore posizione in funzione del tempo , siano $vec(u_r)$ il versore della direzione del raggio vettore e $vec(u_\theta)$ il versore ad esso ortogonale. Allora poiché $vec(r)=r*vec(u_r)$ si ha $vec(v)=(dvec(r))/dt=(dr)/dt vec(u_r)+r (dvec(u_r))/dt$. Poiché la derivata di un versore è $(d\theta)/dt vec(u_\theta)$ si ha che $vec(v)=(dr)/dt vec(u_r)+r(d\theta)/dt vec(u_\theta)=vec(v_r)+vec(v_\theta)$ rispettivamente velocità radiale e trasversa.

Quello che non mi è chiaro è perché la velocità radiale giace sulla stessa retta di $vec(r)$ ma ha verso opposto. Almeno secondo il disegno che ho qui a portata di mano, ha coda sul punto $P$ e punta verso l'origine di riferimento.

E' possibile dedurlo dalle formule sopracitate? E' solo perché la somma vettoriale delle due velocità deve darmi il vettore velocità tangente alla traiettoria?

Vi ringrazio in anticipo!

[mgrau]

Quello che non mi è chiaro è perché la velocità radiale giace sulla stessa retta di $vec(r)$ ma ha verso opposto.

Sarà perchè il verso di $vec(u_r)$ dipende dal segno di $(dr)/dt$, ossia se il punto si avvicina al polo o se ne allontana

[paolo1712]

Giusto. Ti ringrazio e ne approfitto per un'altra domanda in merito all'accelerazione nel moto piano. Definisce l'arco $ds=R*d\theta$ dove R è il raggio di curvatura e poi dice: $(d\theta)/dt= (d\theta)/(ds) * (ds)/dt=1/R*v$.
Il motivo di questa uguaglianza è che sta derivando $\theta(s(t))$ giusto? Cioè l'angolo è funzione dell'ascissa curvilinea, a sua volta funzione del tempo?

[mgrau]

Il motivo di questa uguaglianza è che sta derivando $\theta(s(t))$ giusto? Cioè l'angolo è funzione dell'ascissa curvilinea, a sua volta funzione del tempo?

Direi di sì. Del resto $(d\theta)/dt= 1/R*v$ non è che la nota relazione $v = omegaR$

[paolo1712]

Grazie ancora!