Problema di Meccanica Razionale 1

[Llep]

Buongiorno a tutti,
mi trovo in seria difficoltà nell'affrontare questi tipi di esercizi, il primo è questo. Qualcuno riesce ad affiancarmi nella risoluzione?

E' data la struttura piana isostatica scarica costituita da due tronchi come in figura. La struttura è vincolata al suolo con una cerniera, un carrello e un pendolo. I due tronchi sono collegati con una cerniera mutua. Di questa struttura, due vincoli sono cedevoli: a) Il carrello cede orizzontalmente verso destra di 48cm; b) La cerniera di collegamento al suolo cede verticalmente verso il basso di 12cm. Per effetto di questi cedimenti, calcolare il modulo dell'angolo di rotazione del tronco collegato a terra dal carrello e dal pendolo verticale (tronco di destra).

Il disegno originale è questo:
$ Delta $ vale 12cm




Ho impostato il sistema di tutte le reazioni che entrano in gioco:




Il mio schema è corretto? Manca qualcosa?

[ingres]

Il mio schema è corretto? Manca qualcosa?

Forse una reazione vincolare orizzontale nella cerniera di collegamento al suolo in basso a sinistra.

[Llep]

Giusto, per non mettere confusione al disegno la aggiungo chiamandola $F_6$.

Ho provato quindi a comporre i due sistemi studiando:
$ { ( sumF_x =0 ),( sumF_y =0 ),( sumM =0 ):} $
e ho scritto:
$ { ( F_3-F_6=0 ),( F_1-F_2 =0 ),( F_1L=0 ):} $
per il tronco di sinistra, mentre
$ { ( F_5-F_3=0 ),( F_4-F_2 =0 ),( F_5L=0 ):} $
per il tronco di destra. Risultato tutte identicamente nulle, perchè ho studiato appunto l'equilibrio e si compensano?

Quello che non riesco a capire è quali passaggi devo fare per determinare un angolo di rotazione se lavoro solo con forze e momenti...

[sellacollesella]

Il fatto che le reazioni che hai tracciato siano tutte nulle era prevedibile, in quanto in una struttura isostatica eventuali distorsioni e/o cedimenti non comportano la nascita di sollecitazioni interne, bensì solo spostamenti e/o rotazioni. Nello specifico, quindi, è sufficiente applicare una coppia unitaria al corpo di destra, ad esempio nei pressi del carrello, e calcolare i lavori (virtuali) di tutte le forze in gioco, la cui somma dovrà essere nulla.

[Llep]

Ok, vediamo se ho capito.
Applicando la forza al livello del carrello, imposterei così l'equazione del lavoro:
$ L=FLalpha +F4Delta =0 $ che mi consegna l'angolo $ alpha =-(4Delta) /L $, sotto il piano orizzontale

[sellacollesella]

Per poter applicare il principio dei lavori virtuali devi considerare la seguente situazione:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
dove, essendo applicata una coppia unitaria, ora il sistema di cui sopra dovrà tenerne conto e risolvendolo potrai calcolare le due reazioni che compiono lavoro, ossia \(V_A\) (in su) ed \(H_E\) (a destra), da cui banalmente: \[
-V_A\cdot(\Delta)+H_E\cdot(4\Delta)+1\cdot(\varphi)=0
\] equazione nella sola incognita \(\varphi\), che è quanto richiesto dal testo del problema.

[Llep]

Ti ringrazio molto per la tua pazienza!
Riscrivendo a sistema tutte le razioni e i vincoli ho trovato la relazione tra le due grandezze interessate $ H_E= -2V_A $ ma in questo modo il risultato mi viene in funzione di una delle due grandezze. La mia aspettativa è che sia solo dipendente da $ Delta $.

[sellacollesella]

Il sistema di forze virtuali considerato è il seguente:



il quale, al solito, deve essere equilibrato, ossia devono essere verificate contemporaneamente: \[
\begin{cases}
H_A+H_C=0\\
V_A+V_C=0\\
-H_C\,L+V_C\,L=0\\
\\
-H_C+H_E=0\\
-V_C+V_D=0\\
V_D\,(2L)+H_E\,L+1=0\\
\end{cases}
\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad
\begin{cases}
H_A=\frac{1}{3L}\\
V_A=\frac{1}{3L}\\
\\
H_C=-\frac{1}{3L}\\
V_C=-\frac{1}{3L}\\
\\
V_D=-\frac{1}{3L}\\
\\
H_E=-\frac{1}{3L}\\
\end{cases}
\] dove, come scritto nel primo messaggio, nelle isostatiche non vi sarà mai traccia di \(\Delta\).

Non rimane che far lavorare tali forze virtuali con i rispettivi spostamenti reali di cui sopra: \[
-\left(\frac{1}{3L}\right)\cdot(\Delta)+\left(-\frac{1}{3L}\right)\cdot(4\Delta)+1\cdot(\varphi)=0
\quad\Leftrightarrow\quad
\boxed{\varphi=\frac{5\Delta}{3L}}
\] che è la soluzione del problema proposto.

Come controprova, sapresti calcolare la rotazione del corpo di sinistra? Provaci!