Problema con moto circolare e piano inclinato

[mau21]

Buongiorno a tutti!
Scrivo perchè vorrei chiedervi conferma della soluzione che ho pensato per un esercizio.
Non so se sia corretta perchè l'esercizio me lo sono inventato e quindi non ho le soluzioni.
Dato un punto materiale di massa m, esso si trova inizialmente fermo su un piano inclinato di altezza $h$ (posizione $A$,$v_A=0$), esso scende lungo il piano inclinato e al termine (posizione $B$) vi trova una guida circolare di raggio $R$ che comincia a percorrere con velocità $v_B$.
Supponendo tutto il resto noto e nulla la forza di attrito in tutti i punti calcolare l'altezza $h$ necessaria affinché il punto materiale percorra tutta la guida senza staccarsi.
Io ho provato a ragionare così: permesso che tutte le forze in gioco che compiono lavoro sono conservative, ho applicato la legge di conservazione dell'energia meccanica tra $A$ e $B$ (considerando $X(0)=h_B$) ottenendo che $v_B=sqrt(1/2gh)$.
Sono passato poi ad analizzare il moto circolare; lungo la componente normale alla traiettoria (orientata verso il centro) si ha:
$N-mgcos(theta)=(mv^2)/R$ (con $theta$ angolo acuto compreso tra $B$ e il centro $O$).
Ho pensato che, per mantenere il moto circolare, dev'essere $N>=0$ in ogni punto della guida.
Ora, in teoria avrei dovuto imporre questa condizione nel punto generico, ma ho pensato che, di tutti i punti, il più critico è quello ad altezza $2R$ (sempre considerando $X(0)=h_B$), questo punto l'ho chiamato $C$. Essendo il punto più critico ho pensato che bastasse imporre $N>=0$ in $C$, considerazione.
Usando ancora la legge di conservazione dell'energia meccanica ho ottenuto che $v_C^2=v_B^2-4gR$
Dunque si ha:
$N_C>=0=>mgcos(pi/2)+(mv_C^2)/R>=0$.
Sostituendo $v_B$ e svolgendo i calcoli ottengo $v_B>=sqrt(5gR)$, sostituendo $h$ trovo infine $h>=10R$.
Il mio ragionamento e i calcoli sono corretti?
Grazie mille e scusate per avervi fatto una richiesta generica senza un testo specifico o una soluzione ma mi è venuta un mente questa situazione e ho pensato di provare a studiarla.
Grazie di tutto!

[mgrau]

ho applicato la legge di conservazione dell'energia meccanica tra $A$ e $B$ (considerando $X(0)=h_B$) ottenendo che $v_B=sqrt(1/2gh)$.

Dovrebbe essere $v_B = sqrt(2gh)$
Non so se questo basta a produrre il tuo risultato, ma se pensi che in $C$ l'accelerazione centripeta dev'essere $>=g$, hai $v_C^2/R >= g$, con $v_C^2 = 2gh -> h>=R/2 $ dove $h$ è la differenza di quota fra $A$ e $C$

[mau21]

Grazie mille!