ho pensato di fare così:
Sia $alpha$ l'angolo tra la sbarra e la molla, allora posto $G=(x_G,y_G)$ e $omega=(0,0, \dot \alpha$) si ha che $x_G=lcos(alpha)$ e $y_G=lsin(alpha)$. La lagrangiana è uguale a $L=T+U$ dove $T=1/2mv_G^2+T_G$ e $U=-mgy_G-k/2x_G^2$, si ah che $v_G=\dot x_G^2+\dot y_G^2=l^2 \dot \alpha^2$, $T_G=omega^2/2I_r=\dot \alpha^2/2I_z=(\dot \alpha^2mR^2)/4$, per cui $L=(ml^2 \dot \alpha^2)/2+(\dot \alpha^2mR^2)/4-mglsin(alpha)-k/2l^2cos^2(alpha)$ e poi per l equazione di lagrange basta scrivere $d/dt((del L)/(del \dot alpha))-(del L)/(del alpha)=0$.
L'Hamiltoniana è uguale a $H= \dot alpha p-L$ con $p=(del L)/(del \dot alpha)=(ml^2+(mR^2)/2)\dot alpha$, le equazioni di Hamilton rispetto al sistema canonico sono $\dot p=-(del H)/(del alpha)$ e $\dot alpha=(del H)/(del p)$ e quindi $\dot p= (del L)/(del alpha)=-mglcos(alpha)+ kl^2cos(alpha)sin(alpha)$ e $\dot alpha=\dot alpha$.
Infine l'equazione di Hamilton-Jacobi è $\dot alpha (del f_2)/(del alpha)-L+(del f_2)/(del t)=0$, dove $f_2=f_1+PQ$ e $f_1$ è la funzione generatrice. Qui non capisco in qaule senso mi chieda se si possa applicare il metodo sdi separazione delle variabili...
Volevo sapere se fosse tutto giusto e la parte finale dell'esercizio. Grazie
