Sistemi non inerziali

[mau21]

Buon pomeriggio,
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere un problema sul motto relativo.
Premetto che non abbiamo ancora svolto esercizi a lezione su questo tema, per cui ho provato ad arrangiarmi sulla base di quanti scritto sul libro.
TESTO:
Un corpo puntiforme di massa n_{A} = 2 kg è posto su un carrello, che può scorrere su un piano orizzontale privo di attri- to. Inizialmente il corpo è posto a una distanza d = 1 m dal bordo del carrello, la cui massa e*m_{B} = 8 kg. Il coefficiente di attrito tra il corpo e il carrello è u₁ = 0.2. Il carrello viene messo in moto tramite l'applicazione di una forza orizzontale F = 30 N e il corpo inizia a scivolare verso il fondo del carrello. Calcolare in quanto tempo il corpo arriva alla parete del carrello.

Io ho provato a ragionare così:
Sul corpo A agiscono quattro forze:
la forza $F$ opposta al moto per il terzo principio della dinamica, la forza di attrito concorde con il moto, la reazione vincolare e la forza peso.
Ho ricavato l'espressione della reazione vincolare e mi è risultata $F_(attd)=mu_dm_Ag$
A questo punto mi sono concentrato sulla direzione del moto (verso concorde).
Ho considerato un sistema di riferimento solidale con il carrello, in base a questo risulta essere:
$a=a_r+A$ (dove la prima è l'accelerazione rispetto al SI non inerziale e la seconda è l'accelerazione del SI non inerziale rispetto a quello inerziale, mancano le rotazioni e quindi i termini dipendenti da $omega$), ho considerato $A=F/(m_A+m_B)$
A questo punto ho scritto:
$F_(attd)-F=m_A(a_r+A)$
da cui ho ricavato $a_r=(mu_dm_Ag-F)/m_A-A=-2,54m/s^2$.
Per calcolare il tempo ho imposto:
$1/2a_rt^2+d=0$ ricavando $t=sqrt((-2d)/a_r)=0,88s$
Il libro da però come risultato $t=1,24s$.
Potreste dirmi dove ho sbagliato?
La sostituzione $F=ma$ che ho fatto è stata corretta o no?
Grazie mille!

[ingres]

Prova a guardare

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=236571
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8627670

[mau21]

Ciao Ingres, grazie per il tempo dedicatomi, ho provato a guardare le discussioni che mi hai suggerito ma non sono riuscito da esse ad estrarre il giusto procedimento pee risolvere un problema di questo tipo.
La mia domanda principale è, dato che nel sistema di riferimento non inerziale non vale il secondo principio della dinamica, io posso correggerlo partendo da $F=ma$ e sostituire algebricamente $a=a_r+a_t+a_c$ facendo risultare la legge $F=m(a_r+a_t+a_c)$ con $F$ le forze reali in gioco (come ho fatto nel problema)?
È una sostituzione che, dal punto di vista algebrico, mi sembra corretta, ma non ho capito se lo è anche dal punto di vista fisico.
Poi da lì ricaverei $a_r$ per usarla nella risoluzione.
Come ragionamento è corretto o ho commesso qualche errore?
Grazie ancora!

[Faussone]

@mau21

Non è necessario lavorare in un sistema non inerziale e introdurre le forze inerziali per risolvere il problema, comunque vediamo di usare le due strade possibili che mi vengono in mente, e nella seconda vediamo cosa accade in un sistema non inerziale.


Per prima cosa mettiamoci in un sistema inerziale fisso esterno.

La forza che agisce sul punto materiale è solo quella trasmessa attraverso l'attrito tra carrello e punto quindi:

$m_A g mu_d = m_A a_A$

da cui si ricava $a_A$ che è l'accelerazione del punto rispetto a un sistema fisso.


Sul carrello invece agisce la forza $F$ e l'attrito tra punto e carrello, quindi:

$F-m_A g mu_d = m_B a_B$


da cui si ricava l'accelerazione del carrello sempre nello stesso sistema fisso inerziale.

Ora basta osservare che il punto arriva a percorrere tutto il carrello quando

$1/2(a_B-a_A)t^2 = L$

e in questo l'unica incognita è il tempo.
Sostituendo si trova il risultato del libro che hai riportato.

Volendo invece ragionare nel sistema non inerziale solidale al carrello allora sul punto materiale agisce sempre la forza di attrito tra carrello e disco, vista prima, e la forza di inerzia pari a $-m_A a_B$, dove $a_B$ è l'accelerazione del carrello calcolata prima.

Quindi nel sistema del carrello l'accelerazione relativa $a'$ del punto si trova da

$-m_A a_B+m_a g mu_d = m_A a'$

da cui si ricava $a'$.

Il tempo si calcola quindi da

$1/2 |a'| t^2 = L$
(Ho messo il valore assoluto perché con i versi scelti l'accelerazione $a'$ risulta negativa in quanto opposta al verso della forza di attrito tra carrello e punto.)

E si ottiene lo stesso risultato ovviamente.

[mau21]

Grazie Faussone!
La soluzione con il sistema di riferimento inerziale l'ho capita (avevo provato a usare un SI non inerziale perché l'ho appena studiato e volevo provare a mettermi in quest'ottica.
Non ho capito però come hai fatto a trovare l'espressione della forza d'inerzia. Potresti spiegarmelo?
Grazie ancora!

[mau21]

Forse ho capito:
$a_B$ è pari a $a_t$, quindi risulta:
$F=m_A(a^'+a_t)$ con $F$ forza reale di attrito da cui quello che mi hai detto tu.
Giusto?
Grazie ancora!

[Faussone]

Sì ok.
Se vuoi qui trovi un mio vecchio messaggio in cui ho provato a fare una sintesi sulle forze inerziali.

[mau21]

Grazie mille!
L'ho trovato molto utile!
Grazie a entrambi per tutto!