Pendolo in movimento

[mau21]

Perfetto,
grazie mille!
Potrei fare solo un'ultima domanda, sempre riferita alle equazioni differenziali (anche se non propriamente a questo esercizio)?
Nel caso in cui io abbia un'equazione non omogenea:
$X^('')(t)+w^2X(t)+f(t)=0$ (stessa equazione ma non omogenea).
Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare.
Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di $f(t)$ e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.
Giusto?
Grazie ancora!

[ingres]

Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare

Corretto e questo vale per tutte le equazioni differenziali lineari, quindi anche di ordine superiore al secondo e anche a coefficienti non costanti.

Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di f(t) e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.

Corretto. La soluzione particolare è una qualunque funzione che soddisfa l'equazione a prescindere che soddisfi le condizioni iniziali. Ci sono dei metodi per ricavarla nei casi più complessi (ad es. nel caso di coefficienti non costanti), ma quello della somiglianza è il più "popolare" per le equazioni a coefficienti costanti. Quindi se il termine non omogeneo è un esponenziale si prova con un esponenziale, se è un polinomio con un polinomio dello stesso grado e se è una sinusoide con una combinazione di sinusoidi e cosinusoidi alla stessa frequenza.
Bisogna però stare attenti in qualche caso: ad esempio se ho l'equazione dei moti armonici e la f(t) è una sinusoide alla stessa pulsazione $omega$, si vede che la soluzione particolare è una combinazione di termini $t*sin(omega t), t*cos(omega t)$. Questa risposta diverge nel tempo ed è la rappresentazione matematica del fatto che se solleciti un sistema con una funzione avente la stessa frequenza della frequenza naturale del sistema stesso otterrai una risposta abnorme per "risonanza".

[mau21]

Va bene, grazie mille per tutto!