Precessione

[duff18]

Il fatto che la forza peso provochi un momento torcente che altera la direzione del momento angolare mi è chiaro,
non capisco però, che cosa sostituisca la forza che nel primo riquadro è esercitata dalla mano, e che permette al tutto di non cadere verso il basso.

[Falco5x]

La reazione d'appoggio sul punto O.
In figura 1 la reazione d'appoggio e il sostegno della mano danno entrambi forza verso l'alto di valore $Mg/2$, la cui somma equilibra la forza peso, e il momento risultante delle 3 forze è nullo.
In figura 2 venendo meno la mano che sostiene, la reazione in O vale $Mg$, cioè equilibra da sola la forza peso, però si sviluppa un momento non nullo che causa la precessione.

[duff18]

Non riesco però a capire perchè con il momento sviluppato dalla forza peso l'oggetto non ruoti verso il basso

[Falco5x]

Il fenomeno non è affatto intuitivo, infatti. Possiamo provare però a ragionarci sopra.

Immaginiamo la trottola ferma e non sostenuta da alcuna mano: la forza di gravità fornisce un momento perpendicolare al piano del disegno. Questo tende a far aumentare in pari direzione il momento angolare che è inizialmente zero essendo il corpo fermo. Dunque il momento angolare inizia a svilupparsi in verso concorde col momento torcente, la trottola ruota sul piano del disegno e cade.

Questo succede anche se la trottola ruota attorno al suo asse naturale (parallelo al piano del disegno), con la differenza però che quando la mano lascia la presa il momento angolare non è nullo ma è parallelo all'asse di rotazione. A questo dunque si aggiunge il momento angolare dovuto alla gravità (lo stesso di prima), che sommandosi a quello iniziale produrrebbe un momento angolare con due componenti: la componente parallela al piano del disegno e la componente normale al piano del disegno (la stessa di prima), dunque la trottola tenderebbe a ruotare sia in senso parallelo al foglio (la rotazione iniziale) sia in senso normale al foglio (la cosiddetta caduta). Però se il momento angolare parallelo al foglio è preponderante (come di solito avviene), siccome una rotazione composta in tal modo non è stabile poiché avverrebbe attorno a un asse obliquo non corrispondente ad asse principale d'inerzia, le condizioni dinamiche fanno sì che la trottola modifichi l'asse di rotazione allineandolo con l'asse principale d'inerzia più vicino (quello usuale). L'effetto di ciò è che la trottola si allinea col nuovo momento angolare, che diventa così esclusivamente assiale.

Se invece la velocità iniziale di rotazione della trottola è troppo bassa quando lasciamo la mano, allora le condizioni iniziali non sono più preponderanti per cui si vedrà la trottola oscillare su e giù con nutazioni tanto più ampie quanto minore è il momento angolare iniziale: cioè la trottola tende a cadere e rialzarsi periodicamente. Se la trottola rallenta progressivamente per attriti vari questo fenomeno si accentua finché la trottola cade davvero (quando è quasi ferma).

Mi rendo però conto che ho fatto un gran polverone, e se non mancheranno critiche da parte di qualche guru del rigore formale.... ben mi sta.

[nnsoxke]

Dov'è che hai trovato scritto che la velocità angolare non cambia direzione nel tempo quando è presente solo un appoggio?
La forza peso e quella dell'appoggio generano una coppia che fa ruotare l'asse di rotazione della ruota. La forza peso non è bilanciata dalla reazione e il centro di massa accelera verso il basso.
Anche nel caso dei due appoggi la risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari non è detto che siano opposta al peso la prima e nulla la seconda (rispetto al centro di massa), lo sono solo se l'asse di rotazione coincide con uno della terna centrale (cioè è passante per il centro di massa) e principale di inerzia. Altrimenti danno una risultante e un momento risultante (rispetto al centro di massa) dipendenti dal tempo, cioè sono presenti delle sollecitazioni dinamiche sui supporti, è per questo che i corpi ruotanti vengono bilanciati staticamente e dinamicamente.

Se nell'appoggio ci fosse una cerniera il sistema si comporterebbe come una specie di pendolo, con l'aggiunta di termini dovuti alla "resistenza opposta" dalla ruota alla variazione della direzione dell'asse di rotazione, presente quando questa è in rotazione rispetto al proprio asse.

[nnsoxke]

Però se il momento angolare parallelo al foglio è preponderante (come di solito avviene), siccome una rotazione composta in tal modo non è stabile poiché avverrebbe attorno a un asse obliquo non corrispondente ad asse principale d'inerzia, le condizioni dinamiche fanno sì che la trottola modifichi l'asse di rotazione allineandolo con l'asse principale d'inerzia più vicino (quello usuale). L'effetto di ciò è che la trottola si allinea col nuovo momento angolare, che diventa così esclusivamente assiale.

Con un programma di calcolo non affetto da errore penso che si possano ottenere informazioni utili riguardo alle precessioni, anche per intervalli di tempo molto ampi, soprattutto in quei casi in cui i moti si presentano come "periodici".

[mircoFN]

Non riesco però a capire perchè con il momento sviluppato dalla forza peso l'oggetto non ruoti verso il basso

il momento prodotto da una forza non è una grandezza assoluta, dipende dal polo di calcolo. Nel caso in esame deve essere considerato anche il peso proprio e il momento puro dovuto alla variazione del momento angolare.

[duff18]

il momento prodotto da una forza non è una grandezza assoluta, dipende dal polo di calcolo. Nel caso in esame deve essere considerato anche il peso proprio e il momento puro dovuto alla variazione del momento angolare.

Intendevo rispetto al polo O,
quindi con la precessione viene generato un altro momento che equilibra quello dovuto alla forza di gravità?

[nnsoxke]

Non so se ti è stata introdotta la matrice di inerzia, comunque il moto è descritto dalle due eqazioni cardinali che, definendo la matrice di inerzia, possono essere scritte in questa maniera:

$vecR=mveca_G$
$vecM(G)=sigma(G)dotvecomega+vecomega \times sigma(G) vecomega$

$sigma(G)$ è la matrice di inerzia calcolata rispetto a un sistema di riferimento centrale
$vecR$ e $vec M(G)$ sono la risultante e il momento risultante delle forze esterne

Per ricavare la matrice di inerzia per semplicità può essere scritta nel sistema di riferimento centrale e principale di inerzia, in cui risulta diagonale (la matrice di inerzia è sempre diagonalizzabile).
Già vedendo queste formule e conoscendo la direzione iniziale della velocità angolare si possono ricavare informazioni riguardo a come si sviluppa il moto.

[duff18]

No non mi è stata ancora introdotta la matrice di inerzia,
non c'è un modo più intuitivo per comprendere questa situazione?