da Zkeggia » 17/08/2010, 12:52
La dimostrazione che hai riportato salta parecchi passaggi che possono non essere chiarissimi ad uno studente delle superiori.
Facendo un po' d'ordine:
Prendiamo un punto nel piano che sia identificato dal vettore $vec(r(t)) = x(t)*vec(i) + y(t)*vec(j) + z(t)*vec(k)$
Notare che in questo sistema di riferimento gli assi non si spostano, ovvero è un sistema di riferimento che rimane fermo del tempo. Adesso passiamo a un altro sistema di riferimento $O'$
La più generale trasformazione possibile è fatta così:
Innanzitutto chiamo $vec(OO')$ il vettore congiungente le origini dei due sistemi di riferimento (sarà il vettore nullo se e solo se i due sistemi di riferimento hanno la stessa origine).
Allora detta $vec(r_1(t)) = x'(t)*vec(i')+y'(t)*vec(j')+z'(t)*vec(k')$ la distanza del punto nel nuovo sistema di riferimento si ha chiaramente
$vec(r(t)) = vec(OO') + vec(r_1)$ (dovrebbe chiamarsi proprietà del parallelogramma)
A questo punto ci interessa trovare l'espressione per la velocità nel nuovo sistema di riferimento.
allora derivando l'ultima relazione abbiamo $vec(v(t)) = (d(vec(OO')))/(dt) + (dvec (r_1))/(dt)$ per definizione di velocità.
allora $vec(v_0' (t))$ è la velocità del sistema che prendi come nuovo, mentre la derivata di $bar(r_1(t))$ la calcoliamo per componenti.
Utilizziamo la regola della derivazione del prodotto, ottenendo:
$ (dvec (r_1))/(dt) = (d(x'*vec(i')+y'*vec(j')+z'*vec(k')))/(dt) = (dx')/(dt)*vec(i') + (dy')/(dt)*vec(j')+(dz')/(dt)*vec(k') + x'*(d(vec(i')))/(dt) + y'*(d(vec(j')))/(dt) + z'*(d(vec(k'))/(dt))$
Ora ci sono 3 possibilità. Se il nuovo sistema di riferimento non ruota rispetto al primo, i nuovi versori $i'j'k'$ (che sono i versori $ijk$ visti dal primo sistema di riferimento) non varieranno nel tempo, quindi le loro derivate saranno nulla (sono funzioni costanti del tempo). Se il nuovo sistema di riferimento ruota rispetto al tempo, ma il punto è fermo rispetto al nuovo sistema di riferimento, allora non varieranno le componenti di $r_1(t)$ (che sono le componenti del vettore rispetto al nuovo sistema di riferimento) quindi va via tutta la prima parte, rimanendo appunto le derivate dei versori rispetto al tempo.
L'ultimo caso è quello in cui variano sia i nuovi versori sia le coordinate del punto.
Esiste un teorema, si chiama teorema di Poisson, che dice che se un sistema ruota con velocità angolare $omega(t)$, allora quando si vuole derivare un vettore rispetto a quel sistema, si può scrivere $(d(bar(x)))/(dt) = bar(omega)xbar(x)$
A questo punto la applichiamo direttamente alla seconda parte della formula, per ottenere apunto
$vec(omega)x(x'veci') + vec(omega)x (y'vecj') + vec(omega)x (z'veck') = vec(omega)x (x'*veci' + y'*vecj' + z'*veck') $ (proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma)
Quindi otteniamo, se chiamiamo $vec (v_1(t))$ il vettore di componenti $(d(x'))/(dt)*i' + (d(y'))/(dt)*j' + (d(z'))/(dt)*k'$ si ottiene, finalmente:
$vec(v(t)) =vec(v_0'(t)) +vec (v_1(t)) + vec(omega)x vec(r'(t))$
che è la relazione che lega le velocità in due sistemi di riferimento. Se la velocità angolare è zero (sistema che non ruota) sparisce il prodotto vettoriale.
Notiamo che in soldoni non si deve far altro che derivare rispetto al tempo le componenti del nuovo vettore posizione rispetto al nuovo sistema di riferimento, e fare il prodotto vettore con la velocità angolare del nuovo vettore posizione rispetto sempre alle nuove coordinate.
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Zkeggia il 17/08/2010, 13:05, modificato 5 volte in totale.
La violenza è l'ultimo rifugio degli incapaci - Isaac Asimov.
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