Problemi con alcuni esercizi di fisica 1 sulle molle

[Soxyna]

Zkeggia avevo ragione allora???... ma in questa maniera il problema non sarebbe troppo semplice? perchè scusa, a meno che io non sbagli (sicuro lo sto facendo =) ) la massima velocità raggiunta dalla massa M dovrebbe esser $Vmax = deltaX*omega$

[Zkeggia]

dipende da cosa intendi per $deltax$ -)

tu hai l'equazione
$ma = -kx -mg$

posto $t = x +(mg)/k$ si ha $(d^2t)/(dt^2) = (d^2x)/(dt^2)$

dunque

$m (d^2t)/(dt^2) = - k t$

Che è esattamente l'espressione che caratterizza il moto armonico. Però si può vedere che le x siano tutte traslate di $(mg)/k$... dunque?

Ricordo che la soluzione di tale equazione è
$t(t) = A cos (sqrt(k/m)t + phi_0)$

con $A$ e $phi$ da determinare rispetto alle condizioni iniziali... una volta determinati puoi "ritornare" ad x

[Soxyna]

si scusa con $deltax$ intendevo l'allungamento della molla =) mmh ok, ci sto capendo sempre meno... cioè no non è vero: ci sto capendo perchè a quella equazione ci sono arrivata anche io, solo che $A$ e $phi$ sono incognite, ci sono troppe incognite cioè in base ai dati del problema come faccio a ricavarmi $A$ e $phi$ ? cioè a me viene dato solo il valore della massa e la costante elastica.

ps: lo facevo più semplice questo problema una volta visto il disegno =)

[Zkeggia]

una condizione iniziale è che l'accelerazione iniziale sia pari a $-mg$, l'altra condizione iniziale è che la posizione iniziale della molla sia a riposo.

Prova a sostituire nell'espressione, ricaverai $A$ e $phi$, poi farai tutte le considerazioni che devi sull'allungamento.

[Soxyna]

ma nell'equazione $t(t) = Acos(sqrt(K/m)t + phi_0)$ la $phi_0$ non dovrebbe essere = 0? perchè se così fosse sarebbe semplice ricavare A

[Zkeggia]

Proviamo:
una volta scritta $t(t)$ possiamo passare facilmente a $x(t)$ sottraendo $(mg)/k$, dunque
$x(t) = A cos (sqrt(k/m)t + phi_0) - (mg)/k$

Ho che all'istante iniziale la molla è ferma, cioè $(dx)/(dt) (0) = 0 -> -Asqrt(k/m)sin(sqrt(k/m)*0 + phi_0) = 0-> phi_0 = 0$

Dunque sì, la fase è nulla.

Ora trova A.

[Soxyna]

per trovare A dovrebbe bastare sostituire al posto di t, nell'equazione del moto armonico $x + (mg)/k$ visto che la fase è nulla! =) però che condizione devo porre affinchè riesca a trovare l'estensione della molla quando la massa M raggiunge la massima velocità in caduta?

[Zkeggia]

Quando si ha un massimo in una funzione derivabile e continua? quando la derivata è nulla. Quindi trovati i punti in cui l'accelerazione, ovvero la derivata della velocità, si annulla. Quelli saranno punti di massimo o di minimo, e per sapere quali sono di massimo basta sostituire nell'espressione della velocità e verificare!

[Soxyna]

Si è vero! non avevo fatto la connessione con analisi =) ma mi togli una curiosità? anzi due: 1) ma non c'è un modo per imparare a svolgere i problemi di fisica (perchè mi sto sconfortando parecchio vedendo che mi blocco per delle sciocchezze) 2) nel nostro caso come si calcola $(d^2t)/dt^2$ ? che riscorrendo nei post ho visto che come spiegazione mi hai portato questo calcolo. Perchè ora ti spiego per calcolare l'ampiezza A, sostituendo i vari dati nell'equazione del moto armonico, sostituisco $t = x + (mg)/k$ però c'è quella x che non conosco e a questo punto sarebbe un'equazione a due incognite. Anche se comunque ripensandoci conosco la x(t). Non si può arrivare a determinare la x senza che questa sia in funzione di t?

[Zkeggia]

Il problema è che la mia scelta di cambiamento variabile è stata un po' infelice, potevo chiamarla $y(t)$ invece che $t(t)$.

Tu sai che la soluzione $t(t)$ è una funzione del tempo, per la precisione abbiamo detto essere $t(t) = A cos sqrt(k/m t)$
Ora abbiamo che $t(t) = x(t) + mg/k-> x(t) = A cos sqrt(k/mt) - mg/k$

Ora, non ha senso dire che vuoi una x non in funzione di t, data la sua esplicita dipendenza dal tempo...

Attenta a non confondere le t, quando scrivo $t(t)$ intendo una funzione del tempo, il problema è che questa funzione l'ho chiamata t perché son grullo.

Quindi in $t(t) = A cos sqrt((k/m) t)$ la t a destra è il tempo, quella a sinistra invece è proprio la t funzione.

Insomma alla fine hai
$x(t) = A cos sqrt((k/m)t) - mg/k$
dove t è il tempo.

adesso tu vuoi trovare i punti in cui si annulla a. Deriva due volte x rispetto a t e eguaglia a 0
$(d^2x)/(dt^2) = - k/m A cos sqrt((k/m)t) = 0 -> t = n pi$ dove $n$ è un numero naturale qualunque

ora non ti resta che sostituire $n pi$ nell'espressione della velocità:
$(dx)/(dt) = - sqrt(k/m) A sin (sqrt(k/m)t)$

e verificare quali sono i punti di massimo.


P.s. Anche io mi imbrogliavo tanto con questi esercizietti, proprio tanto, ed io faccio fisica, non è bello. Poi ho imparato a risolvere le equazioni differenziali. Da li le cose sono migliorate notevolmente . Non so che facoltà fai, ma penso tu dovrai prima o poi risolvere qualche equazione differenziale. Allora ti consiglio di imparare subito con le più famose EDO del secondo e del primo ordine. Questo tipo di esercizi si ridurrà a scrivere un'equazione differenziale e risolverla. Vedrai che dopo un po' capirai perché la fisica è al 90% matematica! (Se mi legge qualcuno del forum che so io, mi fa la ramanzina!)