Problema sulla molla

[ANTONELLI]

Una lastra uniforme di m= 10,1 Kg è vincolata ad un estremo , mentre l'altro è tenuto fermo da una molla . In pratica ho un muro perpendicolare al pavimento e la lastra è vincolata nell'angolo tra il pavimento ed il muro e fa un angolo di 50° tra il pavimento (a terra) e la lastra stessa. L a molla ha costante elastica 176 N/m ed è parallela al terreno . E' come avere un rettangolo di cui la lastra è la diagonale e la molla è il lato superiore .

Calcola l'allungamento della molla.

Io ho fatto: orizzontalmente :

-Fx + P cos50° = m a e

verticalmente :

-P sen 50° = ma

da questi dati risulta x = 0.069 che non è il risultato giusto

Il risultato dovrebbe tornare : 0.236 metri e non so come fare.

Mi potete aiutare.

Grazie Roby da Lucca.

[Jerico]

Ciao,
è un problema di statica, prova a fare il bilancio delle forze attive coinvolte ed uguaglialo al risultante delle reazioni vincolari come segue:
$vec(F_p) + vec(F_e) = -vec(Phi)$

$vec(Phi)$ è il risultante delle reazioni vincolari
La relazione di cui sopra deriva dal fatto che in statica il bilancio di forze attive e passive deve essere nullo per definizione (occhio che è una relazione in rappresentazione vettoriale).

Considerando poi la componente lungo le ascisse:
$-k*x = Phi*cos(50)$

Svolgendo i calcoli ho il risultato di x=0,2226..., forse è una questione di approssimazioni, prova a rifarli.

Ciauz

[ANTONELLI]

Non riesco a capire bene. Per Fe cosa intendi?

Roby

[Jerico]

$F_e$ = Forza elastica
$F_p$ = Forza peso, riferita all'asta
$Phi$ = Risultante forze vincolari

Le prime due sono le forze attive presenti nel sistema.

[ANTONELLI]

Ma la Forza Elastica della molla è proprio Fe = kx . La utilizziamo dopo nella relazione -kx + Pcos50 , perche' tirarla in ballo ancora?

Non capisco. Se non ti dispiace puoi provare a scrivere le 2 equazioni complete?

La prima con le forze attive e poi quella che riguarda le forze orizzontali?

Grazie infinite.

Roby

[Jerico]

Ciao,
risolto.

L'asta è inestensibile per cui l'unico movimento concesso è la rotazione, ma il il sistema deve essere in quilibrio per cui il momento risultante delle forze attive dovrà essere nullo.

tenendo conto che l'asta è omogenea, puoi considerarla come un sistema in cui tutta la massa è concentrata nel baricentro (dettal $l$ la lunghezza dell'asta, il baricentro si troverà ad $l/2$).

Fissato un sistema di coordinate cartesiane con origine nel punto in cui l'asta è incernierata al pavimento:

$vec(M)_vec(F)_p) = (0, -m*g, 0)\times((l/2)*cosalpha, (l/2)*senalpha,0) = (0, m*g*(l/2)*cosalpha, 0)$
$vec(M)_vec(F)_e) = (-k*x, 0, 0)\times(l*cosalpha, l*senalpha,0) = (0, -k*x*l*senalpha, 0)$

$vec(M)_vec(F)_p) + vec(M)_vec(F)_e) = 0$

$m*g*(l/2)*cosalpha -k*x*l*senalpha = 0$

Risolvi rispetto ad $x$.

Ciauz.

PS = con (... , ... , ...) indico le tre componenti di un vettore nel sistema di riferimento indicato, in cui la terza componente è il prodotto vettoriale $vec(x)\timesvec(y)$ per avere una terna destrorsa.

[ANTONELLI]

Grazie infinite Jerico. nel complesso ho capito. L'unica cosa non mi riesce perfettamente capire perchè nell'equazione risolutivo che peraltro da il risultato corretto (x = 0.236) Ho:

$( m * g /2 )* cos alpha -k * x sen alpha = 0 $ nel senso di avere da una parte il coseno e dall'altra il seno come viene fuori.

Ho capito che hai fatto il prodotto cartesiano e poi hai uguagliato le due componenti rimaste non uguali a zero, ma perchè per il peso consideri il coseno e per la forza di rixhiamo consideri il seno?

Non mi vuol entrare.

Comunque grazie infinite sei un mago.

Roby da Lucca

[Jerico]

Il coseno ed il seno compaiono in quanto l'asta uniforme di massa $m$ può essere "modellata" come un corpo in cui tutta la massa è concentrata nel baricentro (vedi teorema del baricentro) ed essendo un'asta uniforme il baricentro si troverà a metà della lunghezza dell'asta ($l/2$).

La forza peso, quindi sarà applicata al baricentro di coordinate :
$x=(l/2)*cosalpha$
$y=(l/2)*senalpha$

Il prodotto cartesiano deriva dalla definizione di Momento di una forza rispetto ad un polo (in questo caso scelto coincidente con l'origine del sistema di riferimento). In generale, con una notazione più corretta rispetto a quella usata nel mio precedente post, il momento di una forza $F$ rispetto ad un polo $O$ è definita come:
$vec(M)_o = vec(F) \times vec(r)$

Ciao