vettori e covettori

[cisufo]

Mi scuso anzitutto se pongo il problema in maniera semplicistica, ma vorrei avere le idee chiare: vorrei sapere più che altro se il mio ragionamento è corretto, o se sono proprio fuori strada. Mi servo quindi di un esempio semplice. Siamo nel piano, a dimensione 2, e mi creo una base vettoriale controvariante (componenti scalari di un comune vettore v), in un sistema di assi cartesiani obliquo con angolo alfa di 60 gradi, $e^i$, ponendo per esempio $e^1=2$ e $e^2=3$. Per costruire la base duale (del covettore duale v*) che dovrebbe essere covariante, devo imporre che $e^i*ej = dij$ (d corrisponde a delta), ossia che il prodotto scalare dia zero per i diverso da j e 1 se gli indici i e j sono uguali. Devo immaginare quindi 2 nuovi assi che devono essere ciascuno perpendicolare a quello di numero di indice diverso (cioè l'asse su cui misuro $e1$ perpendicolare all'asse di $e^2$ e viceversa, in modo che il coseno sia di 90 gradi e quindi pari a zero). Per calcolare infine la base covariante del covettore devo risolvere l'equazione $2*e1*cosx=1$ e $3*e2*cosx=1$? Ho x ancora di 60 gradi, dato che la nuova coppia di assi forma lo stesso angolo della vecchia, quindi ottengo $e1=1$ e $e2=2/3$, tenuto conto che $cos60=1/2$. E' corretto tutto ciò oppure no? (chiedo scusa di qualche distrazione, spesso mi succede)