velocità corpi in caduta (politecnico di milano)

[raffamaiden]

Desidero sapere se il mio ragionamento è corretto. Il testo dell'esercizio è il seguente (risposta multipla):

"Due corpi vengono fatti cadere con velocità iniziale nulla da un'altezza h, il primo in caduta libera, il secondo lungo un piano inclinato. Si trascuri ogni tipo di attrito. La velocità con cui i copri arrivano al suolo è:
A) Uguale per i due corpi
B) Il corpo in caduta libera possiede velocità maggiore
C) Il corpo che scende lungo il piano inclinato possiede velocità maggiore
D) Non è possibile rispondere se non si conoscono le masse dei due corpi
E) Non è possibile rispondere se non si conosce l'angolo di inclinazione del piano"

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Chiamiamo A il corpo che si muove in caduta libera e B il corpo che scivola sul piano inclinato.

A si muove di moto uniformemente accelerato. La sua accelerazione è quella di gravità, $g$. Per definizione, $Deltav= (Deltat)*a$. Poichè a noi interessa la velocità con cui il corpo arriva al suolo, $Deltat$ è il tempo impiegato dal corpo per percorrere tutto $h$. Dallo formula per il calcolo dello spazio nel moto uniformemente accelerato $s=(1/2)*a*t^2$ si ricava $t=sqrt( ((2*s) / a) )$. Nel nostro caso $s=h$ e $a=g$ per cui $t=sqrt(((2*h) / g))$. Sostituendo $t$ alla velocità si ha $Deltav=g*sqrt(((2*h) / g))$ ovvero, semplificando e ponendo la velocità iniziale del corpo nulla (condizione del problema), si ha $v=sqrt(2*g*h)$, soluzione cercata

Ora per il corpo B, e qua ho dei dubbi che il ragionamento sia corretto.

Si dimostra come il modulo della forza che agisce sul corpo parallela al piano inclinato sia $F_ {"//"}=F_ {p}*h/l$ dove $F_ {p}$ è la forza peso, $h$ l'altezza e $l$ l'ipotenusa del triangolo rettangolo con cui rappresentiamo il piano inclinato. Poichè l'accelerazione per la forza peso è quella di gravità, si può scrivere $F_ {"//"}=m*g*h/l$.
Ora come tutte le forze anche la forza parallela può essere scritta come $F_ {"//"}=m*a$ ed eguagliando questa espressione con quella di sopra si trova che, per poter eessere eguali, deve per forza essere $a=g*h/l$ dove $a$ è l'accelerazione a cui è soggetto il corpo sul piano inclinato. Dalla formula generica $t=sqrt( ((2*s) / a) )$ si ha, sostituendo $s$ con lo spazio percorso ovvero $l$ (e non $h$), che
$t=sqrt( ((2*l) / ((g*h) / l)) )$ da cui, semplificando, $t=l*sqrt(( 2 / (g*h) ))$.
La velocità diventa pertanto $v=sqrt( 2*g*h)$. Si nota come sia la stessa del corpo A, essendo $g$ e $h$ costanti. Perntato la risposta corretta è la A.

Tutto giusto?

[goblinblue]

Si, la risposta corretta direi che sia la $A)$.