Dubbi sul modello atomico di Bohr..

[Daniele515]

Ciao ragazzi mi aiutate a capire?

Secondo Bohr l=mvr=nh/2pigreco cioe' il momento angolare dell'elettrone e' uguale ad n volte la costante di plank diviso 2 per pigreco...ma questa costante diviso quel denominatore da cosa deriva?

Poi il libro parla di quantizzazione ecc e quindi afferma che anche l'energia e' quantizzata..pero' non capisco perche' quando calcola l'energia potenziale dell'elettrone, risulta negativa.

Cito: L'energia potenziale di un elettrone viene definita in riferimento ad un arbitrario zero di energia potenziale: si assume come energia zero quella dell'elettrone a distanza infinita dal nucleo.
Nel passaggio di un elettrone da distanza infinita a distanza r dal nucleo l'energia potenziale dell'elettrone diminuisce, e cio' spiega il significato del segno negativo.

Questo non significherebbe che la forza di coulomb diminuisce avvicinandosi al nucleo???

Per controllare il segno ho anche svolto l'integrale..la variazione di energia potenziale U=meno L
L e' dato dall'integrale della forza..sostituendo la forza con quella di coulomb e gli estremi come iniziale=infinito e finale=R (visto che il libro fa avvicinare l'elettrone da infinito ad R) ottengo un valore positivo che tra l'altro e' proprio quello che mi aspetterei!!

Come mai questa discordanza?


[mod="Camillo"]Sposto in Fisica [/mod]

[anonymous_ed8f11]

Per quanto riguarda la prima formula purtroppo non ne conosco la dimostrazione.

Per quanto riguarda la seconda domanda invece tieni conto che il segno dell'energia potenziale è solo una convenzione, non imposta che sia maggiore o minore a zero, quello che conta sono le VARIAZIONI di energia potenziale. In secondo luogo tieni presente che in un campo elettrico l'energia potenziale associata ad una carica dipende anche dal segno della carica stessa.

In questo caso essendo per l'atomo di idrogeno un solo protone che genera il campo, ed essendo l'elettrone con carica di segno negativo:

$U(r)=1/(4 \pi \epsilon_0)((q)(-q))/r$ dove $q$ è il modulo della carica dell'elettrone (= a quella del protone).


In pratica dato che l'elettrone tende ad andare verso il minimo della sua energia potenziale, la forza do coulomb lo sposterà verso $r$ minori e cioè verso il centro. Invece per distanze infinite l'energia si annulla e cioè la forza di coulomb non si fa sentire.


Ti ho convinto?

[giacor86]

la dimostrazione non credo che esista. Penso che Bohr abbia fondato il suo modello solo su dati empirici. Aassume la quantizzazione del momento angolare come assioma. Non è l'unico assioma di Bohr. Si può dimsotrare il tutto infatti solo con la meccanica quantistica e la teoria di schroedinger, teoria che viene un po' di anni dopo

[anonymous_ed8f11]

Per quanto riguarda il modello di Bohr posso fare delle supposizioni:

Secondo il modello l'elettrone gira in moto circolare uniforme attorno al nucleo (cioè il protone, riferendoci all'atomo di Idrogeno)
Affinchè l'elettrone non sfugga per la tangente è necessaria una forza centripeta, data dalla corza di Coulomb.
Affinchè l'elettrone non decada sul nucleo è necessario che abbia una certa quantità di moto.

Potrebbe darsi che mettendosi a risolvere per benino le equazioni riguardo l'equilibrio delle forze, essendo m fissata (massa dell'elettrone), si riesca a dimostrare che questo equilibrio è possibile solo per alcuni valori particolari di velocità e distanza.


Purtroppo io sono solo al secondo anno di ingegneria e queste cose non le abbiamo trattate più di tanto, quindi non me la sento di affrontare calcoli col rischio di scrivere cose che magari non stanno nè n cielo nè in terra.


Vediamo cosa dicono gli esperti, adesso mi sono incuriosito anch'io!

[antani]

in realtà è più come dice giacor. Fare il conto che dice @anonymous_ed8f11 non ha significato, in quanto l'irraggiamento è sempre presente per una carica accelerata, ed è proprio quello che la farebbe rallentare e collimare col nucleo secondo la fisica classica; pertanto non esiste una condizione di "equilibrio", ovvero non esistono orbite chiuse per via del fatto che una rotazione è sempre un moto accelerato.

L'idea di bohr parte da quelli che in meccanica hamiltoniana (quindi discorso classico) si chiamavano integrali d'azione per un moto periodico, che erano definiti come:
$intintdpdq$ su un periodo, dove q è una qualsiasi variabile e p il momento cinetico coniugato: ad essempio coppie di questo tipo di variabili sono posizione-quantità di moto, o angolo di rotazione attorno a un asse-componente lungo quell'asse del momento angolare.
Questi integrali quindi sono integrali di superficie sull'area nello spazio delle fasi delimitata dal contorno chiuso (proprio perchè il moto è periodico).

L'idea di Bohr (proprio per allinearsi coi risultati sperimentali) è che questi integrali siano tutti mutlipli interi della costante di planck: $intintdpdq=nh,\ \ ninmathbb{N}$. La costante di planck era nota per il fatto che era stata introdotta già per evitare la cosiddetta catastrofe ultravioletta nella teoria del corpo nero.

Facciamo il conto per l'atomo. Supponiamo che il moto dell'elettrone sia circolare uniforme. Allora il suo momento angolare rimane costante
uguale a $L=mvr$, mentre l'angolo $thetain[0,2pi]$ su un periodo. La superficie nello spazio delle fasi è quindi un rettangolo di altezza $mvr$ e base $2pi$, da cui $intintdpdq= int_0^(mvr)dp int_0^(2pi)dq=mvr2pi$ che dev'esse posto pure $=nh$, da cui : $mvr=nh/(2pi)$, che è la formula di Bohr.

In realtà si può dimostrare che questo risultato è indipendente dalla circolarità dell'orbita, ma va bene per ogni orbita chiusa dell'elettrone (ossia per ogni suo stato legato):infatti il potenziale coulomiano del nucleo è uguale a quello gravitazionale, ed è noto dalle leggi di Keplero che le orbite chiuse sono tutte o ellittiche o circolari, ma essenso in ogni caso la forza elettrostatica centrale, il momento angolare durante il moto si mantiene costante, e non dipende dall'angolo, che continuerà sempre a variare comunque da 0 a $2pi$ per i moti periodici, e pertanto la superficie dell'integrale d'azione nello spazio delel fasi è sempre il rettangolo di prima.

[Daniele515]

Grazie a tutti ragazzi mi scuso se risp solo ora..comunque nel continuare lo studio mi sono imbattuto nell'equazione di de broglie e da li' ho capito da dove derivano quelle formule.