Come si legge l'equazione di Dirac

[dissonance]

Non capisco proprio come leggere il termine

\( \displaystyle \underline{\alpha} \cdot \nabla \)

dove \( \displaystyle \underline{\alpha}=[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] \) è una terna di matrici 4x4 (e uso il bruttissimo underline perché il parser non riconosce il grassetto di lettere greche). Il libro che sto leggendo (B. Thaller, The Dirac Equation) scrive

\( \displaystyle H_0=-i \hbar c \underline{\alpha}\cdot \nabla+ \beta m c^2=
\begin{bmatrix}
mc^2 \mathbf{1} & -i \hbar c \underline{\sigma}\cdot \nabla \\
- i \hbar c \underline{\sigma}\cdot \nabla & -mc^2 \mathbf{1}
\end{bmatrix} \) ;

come devo leggere quella matrice se applico \( \displaystyle H_0 \) a \( \displaystyle \underline{\psi}=[\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4] \) ?

Grazie.

P.S.: Ah e dimenticavo un altro dubbio, ancora più sostanziale. Leggo su Berezin & Shubin The Schrödinger Equation, pagg.30-32, che lo spazio degli stati di una particella con spin \( \displaystyle s \) è

\( \displaystyle L^2(\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^k \)

dove \( \displaystyle k=2s+1 \) . In particolare se la particella ha spin \( \displaystyle 1/2 \) , ed è il caso considerato dall'equazione di Dirac a quanto mi pare di capire, dovrei avere come spazio degli stati \( \displaystyle L^2(\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^2 \) , cioè uno spazio di funzioni d'onda vettoriali di tipo \( \displaystyle \underline{\psi}=[\psi_1, \psi_2] \) . Ma questa equazione "mangia" funzioni d'onda a 4 dimensioni, il che dovrebbe corrispondere a spin 3/2. Com'è la storia? Purtroppo non ho nessuna conoscenza di relatività quindi non sono in grado di fare da solo considerazioni fisiche sull'argomento.

[rbtqwt]

Abbiamo \( \displaystyle H_0 = -i \hbar c \sum_{k=1}^3 \alpha_k \partial_k + \beta mc^2 I_{4x4} \) e \( \displaystyle \psi = \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{bmatrix} \) . Dunque \( \displaystyle H_0\psi =-i \hbar c \sum_{k=1}^3 \alpha_k \begin{bmatrix} \partial_k \psi_1 \\ \partial_k \psi_2 \\ \partial_k \psi_3 \\ \partial_k \psi_4 \end{bmatrix} + \beta mc^2 \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{bmatrix} \)
Ad esempio, se consideriamo la rappresentazione di Pauli-Dirac delle matrici $\alpha_k$, in cui
\( \displaystyle \alpha_k = \begin{bmatrix} 0_{2x2} & \sigma_k \\ \sigma_k & 0_{2x2} \end{bmatrix} \qquad \beta = \begin{bmatrix} I_{2x2} & 0_{2x2} \\ 0_{2x2} & -I_{2x2} \end{bmatrix} \)
ove $\sigma_k$ sono le matrici di Pauli
\( \displaystyle \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \qquad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)
ottieniamo
\( \displaystyle H_0 \psi =-i \hbar c \begin{bmatrix} \partial_1 \psi_4 - i \partial_2 \psi_4 + \partial_3 \psi_3 \\ \partial_1 \psi_3 +i \partial_2 \psi_3 -\partial_3 \psi_4 \\ \partial_1 \psi_2 -i \partial_2 \psi_2 + \partial_3 \psi_1 \\ \partial_1 \psi_1 + i \partial_2 \psi_1 - \partial_3 \psi_2 \end{bmatrix} + mc^2\begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ -\psi_3 \\ -\psi_4 \end{bmatrix} \)

[dissonance]

Oh finalmente ho capito!!! Soprattutto ho capito cosa significa

\( \displaystyle \underline{\alpha}\cdot \nabla \) ;

si intende infatti

\( \displaystyle \underline{\alpha}\cdot \nabla \underline{\psi}=\sum_{k=1}^3 \alpha_k \frac{\partial \underline{\psi}}{\partial x_k} \) .

Ho capito anche come funziona la scrittura con matrice, si intende che la colonna

\( \displaystyle \begin{bmatrix}
\psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4
\end{bmatrix} \)

va partizionata in due blocchi:

\( \displaystyle \begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\psi_1 \\ \psi_2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
\psi_3\\ \psi_4
\end{bmatrix}
\end{bmatrix} \) .

Benissimo. Ti ringrazio molto, mi dispiace ti sia preso il disturbo di scrivere tutte quelle formule. Purtroppo mi rimane da comprendere la questione dello spin, mi puoi dire qualcosa? Anche puntarmi ad una risorsa leggibile da me, che ho una formazione da matematico e non conosco la relatività. Grazie ancora.

[rbtqwt]

Purtroppo non ho il Thaller sotto mano, mi pare di ricordare però che nei capitoli 2 e 3 mostrasse la necessità di usare funzioni d'onda a quattro componenti.

Nel libro Quantum Field Theory, A Tourist Guide for Mathematicians di Gerald B. Folland, nella sezione 4.2 e in particolare nella prima parte della sezione 4.3 mostra intuitivamente come l'equazione di Dirac descriva "particelle" di spin $1/2$ e, per quanto riguarda lo spin, il fatto che la $\psi$ abbia quattro componenti non aggiunga ulteriori "gradi di libertà". Nella sezione 4.4 dovrebbe approfondire ulteriormente la questione.

[dissonance]

Molto interessante il libro di Folland, direi che è proprio la risorsa che mi serviva. Grazie!