Relatività generale e ristretta

[the world]

Salve a tutti,avrei delle difficoltà con alcuni quesiti di fisica,sulla Relatività,potreste perfavore darmi una mano?
1-Illustra gli assiomi della teoria della relatività ristretta
2-Spiega in cosa si differenzia il principio di relatività generale da quello di relatività ristretta
3-Spiega con esempi opportuni cosa si intende in geometria con il termine spazio-curvo
4-Qual è l'interpretazione della gravità secondo Einstein
5-illustra com'è possibile dimostrare l'esistenza del fenomeno noto come contrazione della lunghezze

1-Per quanto riguarda il primo quesito,dopo aver enunciato i due assiomi ho scritto che il primo principio estende a tutta la fisica il principio di relatività galileiana e che il secondo può essere visto come caso particolare del primo:se le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi in essi valgono le eq.di Maxwell e poichè prevedono un valore preciso di c,tale velocità risulta la stessa in tutti i sistemi inerziali. (non so se questo però può essere considerato illustrazione degli assiomi)
2-nella secondo ho scritto che Introducendo il principio di relatività generale Einstein superò il primo assioma della ristretta,e come conseguenza del principio di relatività generale anche il secondo assioma deve essere abbandonato infatti: se in un dato sistema inerziale la luce si propaga in linea retta con un vettore velocità costante,in un secondo sistema accelerato rispetto al primo la traiettoria della luce risulta curva.Ciò significa che la velocità vettoriale della luce cambia da punto a punto(nn so se oltre a questo devo scrivere altro-come ade sempio il fatto che la relatività ristretta si ottiene da quella generale nel caso in cui si possa trascurare la gravità,cioè nel caso in cui lo spazio-tempo risulti piatto.Di conseguenza anche nella relatività generale va tenuto presente quello che si era detto nella relatività ristretta)

sulla 3 4 e 5 non ho la più pallida idea di come rispondere

Grazie per l'attenzione

[VINX89]

5) Considera due sistemi di riferimento inerziali $K$ e $K'$ (di origine rispettivamente $0$ e $0'$) con gli assi paralleli a due a due; supponiamo che all'istante iniziale le origini coincidano e che negli istanti successivi il sistema $K$ si muova di moto rettilineo ed uniforme con velocità $V$ lungo l'asse $x$ (e $x'$).
Immagina un'asta solidale al sistema $K$ di lunghezza $l$ che giace sull'asse $x$ con gli estremi nei punti $0$ ed $l$; immagina anche che nel punto $0$ ci sia una sorgente luminosa (una torcia, ad esempio) e che nel punto $l$ ci sia invece uno specchio in grado di riflettere la luce indietro. Anche specchio e torcia sono solidali al sistema $K$.
Se $c$ è la velocità della luce, lo spazio percorso dalla luce per partire da $0$ e tornare in $0$ è $2l = ct -> t = (2l)/c$
Considera ora il sistema $K'$ (per noi in quiete); dal momento dell'emissione fino alla riflessione, la luce percorre più spazio rispetto al caso precedente, perchè lo specchio si è spostato di una quantità $Vt_1$; tornando indietro, invece, la luce percorre meno spazio perchè il punto $0$ le va incontro e si sposta di una quantità $Vt_2$. Il tempo per l'andata è quindi $t_1 = (l' + Vt_1)/c -> t_1 = (l')/(c - V)$.
Il tempo per il ritorno, invece, è $t_2 = (l' - Vt_2)/c -> t_2 = (l')/(c + v)$ ($l'$ è la lunghezza dell'asta vista da $K'$, che supponiamo essere diversa e quindi distinguiamo da $l$).
Il tempo totale trascorso in $K'$ affinchè la luce torni alla sorgente è $t' = t_1 + t_2 = (l')/(c - V) + (l')/(c + V) = (2l')/(c(1 - (v^2)/(c^2))) = (Gamma)^2 (2l')/c$
La quantità $Gamma$ è definita come $Gamma = 1/(sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))$ ed è sempre maggiore di uno se si ammette che $c$ è la massima velocità possibile.
Si sa (se vuoi e se ho tempo te lo dimostro) che vale la cosiddetta "dilatazione dei tempi": $t' = Gamma t$.
Sostituendo i nostri dati si ottiene $(Gamma)^2(2l')/c = Gamma 2 l/c -> l' = l/(Gamma)$

[VINX89]

4) Non ho ancora studiato relatività generale, però posso risponderti in modo qualitativo.
Einstein interpreta la gravità come una proprietà geometrica dello spazio-tempo.
Lo spazio, in presenza di una massa, si incurva secondo una certa legge (che ignoro, ovviamente); un corpo in moto, secondo Einstein, si muove sempre seguendo delle "geodetiche", ovvero linee che nello spazio con la curvatura considerata rappresentano il cammino più breve fra due punti.
Il paragone più famoso che si fa è quello del telo elastico teso: senza pesi è piatto, con un peso si incurva. Lo spazio-tempo è un telo elastico quadridimensionale.
In assenza di masse (quindi senza gravità), lo spazio è piatto e le geodetiche sono linee rette: si ha un moto rettilineo ed uniforme e si ritrova il principio di inerzia classico.
Se c'è una massa, invece, la geodetica è una linea curva: ecco spiegate, per esempio, le traiettorie ellittiche (e non solo) dei pianeti attorno al sole.

3)Uno spazio curvo si può definire come una varietà tale per cui il tensore metrico dipende esplicitamente dalle coordinate curvilinee scelte per "coordinatizzare" la varietà. Il tensore metrico è un oggetto rappresentabile da una matrice i cui elementi $g_(ik)$ sono tali per cui:
$(ds)^2 = g_(ik) dq_i dq_k$ (è sottintesa la somma su $i$ e $j$ secondo la convenzione di Einstein)
$ds$ è la distanza fra due punti della varietà "molto vicini"; le $q$ sono le coordinate scelte.
Lo spazio euclideo bidimensionale (per esempio) è piatto: infatti, dal teorema di Pitagora, $(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2$. In questo caso il tensore metrico è la matrice identità $2*2$ (indipenente, quindi, dalle coordinate).
Considera ora una circonferenza centrata nell'origine: questo è uno spazio curvo.
Le coordinate naturali sono, in questo caso, il raggio $rho$ e l'angolo polare $phi$:
$x = rho cos phi -> dx = drho cos phi - rho sin phi dphi$
$y = rho sin phi -> dy = drho sin phi + rho cos phi dphi$
Sostituendo si ottiene $(ds)^2 = (drho)^2 + (rho)^2 dphi$
Ora il tensore metrico è la matrice diagonale $2*2$ i cui elementi sono 1 e $(rho)^2$. Il tensore ora dipende da una delle coordinate ($rho$ nello specifico), quindi lo spazio è curvo come previsto.

[alle.fabbri]

@Vinx
In realtà nel punto 3 stai facendo un po' di confusione. L'esempio che hai scelto non rappresenta uno spazio curvo bensì una parametrizzazione curvilinea dello spazio piatto... Per "curvare" una geometria bidimensionale prendi la superficie (e solo quella, altrimenti vale lo stesso discorso delle coordinate polari) di una sfera o di un cono come esempi più intuitivi.
In generale il punto è che non puoi dire, solo guardando la forma della metrica, se ti trovi in uno spazio piatto o no. Le proprietà di curvatura risiedono in un oggetto chiamato tensore di Riemann che si calcola a partire dalla metrica.

[anonymous_af8479]

Il cono, così come il cilindro, ha curvatura nulla ...

[anonymous_af8479]

Se interessa, ho fatto questo programmino con MAXIMA per studiare la curvatura di una superficie :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/CalcoloNumericoMaxima/Superficie.png

Il sorgente è questo :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/CalcoloNumericoMaxima/Superficie.odt

[alle.fabbri]

Il cono, così come il cilindro, ha curvatura nulla ...

Giusto...

[david_e]

Lo spazio, in presenza di una massa, si incurva secondo una certa legge (che ignoro, ovviamente); un corpo in moto, secondo Einstein, si muove sempre seguendo delle "geodetiche", ovvero linee che nello spazio con la curvatura considerata rappresentano il cammino più breve fra due punti.

Ad essere pignoli le geodetiche non sono curve di lunghezza minima, ma solo di lunghezza estremale. In particolare su una varietà Lorentziana, come lo è lo spaziotempo in RG, non esistono curve causali di lunghezza minima. Infatti le particelle in RG si muovono su curve di lunghezza massima.

[alle.fabbri]

[OT]
@david_e
Interessante sta cosa...non ci avevo mai pensato. Ma è legato al fatto che le geodetiche devono essere timelike? Sai per caso dove posso trovare un po' di materiale su questo argomento?
[/OT]

[david_e]

[OT]
@david_e
Interessante sta cosa...non ci avevo mai pensato. Ma è legato al fatto che le geodetiche devono essere timelike? Sai per caso dove posso trovare un po' di materiale su questo argomento?
[/OT]

[OT]
In un certo senso si: dipende dal fatto che se prendi due punti $p$ e $q$ con $q \in J^+(p)$, nel futuro causale di $p$, allora puoi sempre trovare una curva di lunghezza propria arbitrariamente piccola muovendoti su una famiglia di curve che al limite approssima una spezzata fatta con geodetiche nulle (quindi con lunghezza zero). Questo remark c'e' sul "Wald - General Relativity", ma mi pare che non ce ne sia una prova formale.

Tra l'altro, mi viene in mente che questo e' anche consequenza del fatto che la lunghezza sulle curve time-like e' misurata in modo che questa coincida col tempo proprio: se prendessimo una segnatura space-like $(- + + +)$ e misurassimo la lunghezza delle curve con la convenzione che questa sia negativa per le curve time-like, allora varrebbe l'opposto: ci sarebbero curve di lunghezza minima, ma non di lunghezza massima... quindi l'affermazione corretta e' che, in assenza di altre "forze", i corpi si muovono su traiettorie che massimizzano il tempo proprio di percorrenza.
[/OT]