divergenza di una funzione

[gtsolid]

ciao.

studiando la legge di gauss per il campo magnetico, ad esempio, ho visto la forma locale di essa, che si esprime con http://upload.wikimedia.org/math/5/7/6/ ... 502c90.png

mi sfugge il significato pratico della divergenza, dall'esempio su wikipedia, ho visto che la divergenza di una funzione è nulla (ad esempio) nello scarico di una vasca da bagno, ed ha divergenza massima, in corrispondenza del rubinetto di immissione.
cosa mi sapete dire della DIVERGENZA applicata al campo magnetico? o ank a qll elettrico magari per fissare meglio le idee...

[skyluke89]

ciao, cerco di risponderti a questa domanda perchè per molto tempo me la sono posta anch'io!

in sostanza, la divergenza di un campo rappresenta la 'densità di sorgenti' di quel campo in una certa regione di spazio. Cerco di spiegarla meglio con l'esempio della vasca da bagno:
prendi come tuo volume V di spazio proprio la tua vasca da bagno. In questa regione scorrerà del fluido, che puoi vederlo come tante linee di flusso (le linee di campo). In questa regione sono presenti delle sorgenti di fluido (es. il rubinetto, cioè un punto da cui si 'origina' nuovo fluido) e dei 'pozzi', io li chiamo cosi, che sono i punti in cui le linee di fluido 'scompaiono' (in questo caso è lo scarico, infatti in corrispondenza di esso è come se sparisse il fluido).
La divergenza di un campo vettoriale ti rappresenta proprio in qualche modo la densità di sorgenti o di pozzi di quel campo, cioè: se in una regione V di spazio la divergenza di quel campo è positiva, allora significa che in quella regione si hanno più sorgenti (punti da cui escono le linee di campo) che pozzi (punti in cui entrano le linee di campo); viceversa, divergenza negativa significa che in quella regione ci sono più pozzi che sorgenti, quindi in quella regione ci saranno più linee di campo che 'scompaiono' rispetto a quelle generate. Divergenza nulla significa che c'è un 'pareggio' tra pozzi e sorgenti.
Nel caso della vasca quindi, la divergenza è massima in corrispondenza del rubinetto perchè appunto quella è la zona in cui vengono originate il maggior numero di linee di campo (fluido), mentre la divergenza sarà minima (in particolare negativa, ma non nulla!) in corrispondenza dello scarico, perchè li è il punto in cui 'scompaiono' più linee di flusso.

Puoi rifare il ragionamento rispetto ai campi elettrico e magnetico:

-Campo elettrico: qui le sorgenti sono le cariche positive (da cui 'escono' le linee di campo), mentre i pozzi sono le cariche negative (in cui 'entrano le linee di campo): quindi se in una regione di spazio hai div E>0, significa che hai un eccesso di cariche positive, viceversa se div E<0, hai un eccesso di cariche negative.

-Campo magnetico: in questo caso la divergenza è sempre zero. questo perchè non esistono (almeno, a quanto ne sappiamo noi finora) i cosiddetti 'monopoli magnetici', cioè le cariche magnetiche singole: esistono soltanto i dipoli magnetici, che sono formati da un polo nord e un polo sud attaccati. Dato che non puoi separare i 2 poli, quindi, in una regione non potrai mai avere un eccesso di poli nord o di poli sud, e quindi in tale regione non avrai mai dei punti isolati in cui si originano linee di campo o in cui scompaiono: ogni linea di campo infatti esce dal polo nord ed entra nel polo sud. Per questo motivo per il campo magnetico vale sempre div B =0.

Spero di esserti stato d'aiuto!

[gtsolid]

perfetto. non potevo chiederti di essere più chiaro.

avrei anche qualche dubbio sul rotore, ma non so se proseguire qua la discussione o aprire un nuovo forum.

boh provo qui poi al limite chiudo.

il rotore so che misura la rotazione infinitesima di un campo vettoriale (quale può essere un campo magnetico o elettrico).
se il rotore è = 0 ovviamente si chiamerà irrotazionale (come si chiama soleinoidale il campo magnetico poichè ha divergenza nulla anche se non è giustissima questa scrittura).
ma che cosa si intende per "rotazione di un campo magnetico"?

[skyluke89]

mm il rotore invece è leggermente più complicato da capire dal punto di vista fisico...ma ci provo ugualmente!

l'esempio più brillante per capirlo secondo me è di nuovo un fluido che scorre stavolta in un condotto. Il campo vettoriale in questo caso è le velocità delle varie linee di fluido; se il fluido è irrotazionale (rotore di v=0) significa che le varie linee di fluido procedono parallele alla direzione del moto, senza cioè 'ruotare' attorno a tale direzione; invece un fluido in cui il rotore di v è diverso da zero è un fluido in cui le varie linee di fluido, oltre a procedere lungo la direzione di propagazione del fluido tendono anche a ruotare attorno ad esso (immagina il rotore come un indicatore della vorticosità del fluido).

Questo era l'esempio con cui capii io il concetto di rotore... applicarlo al caso del campo elettrico e magnetico ammetto che è un pò più difficile (soprattutto da 'vedere'), però io me lo immagino più o meno ancora come una misura della 'vorticosità' del campo, cioè se il campo è irrotazionale sostanzialmente le linee di campo non 'ruotano' intorno ad altre...

[gtsolid]

mm il rotore invece è leggermente più complicato da capire dal punto di vista fisico...ma ci provo ugualmente!

l'esempio più brillante per capirlo secondo me è di nuovo un fluido che scorre stavolta in un condotto. Il campo vettoriale in questo caso è le velocità delle varie linee di fluido; se il fluido è irrotazionale (rotore di v=0) significa che le varie linee di fluido procedono parallele alla direzione del moto, senza cioè 'ruotare' attorno a tale direzione; invece un fluido in cui il rotore di v è diverso da zero è un fluido in cui le varie linee di fluido, oltre a procedere lungo la direzione di propagazione del fluido tendono anche a ruotare attorno ad esso (immagina il rotore come un indicatore della vorticosità del fluido).

Questo era l'esempio con cui capii io il concetto di rotore... applicarlo al caso del campo elettrico e magnetico ammetto che è un pò più difficile (soprattutto da 'vedere'), però io me lo immagino più o meno ancora come una misura della 'vorticosità' del campo, cioè se il campo è irrotazionale sostanzialmente le linee di campo non 'ruotano' intorno ad altre...

penso che il modo migliore per far fisica sia proprio il capire intuitivamente il come e il perchè di un fenomeno...
grazie