Legge di gravitazione di Newton

[schoggi]

Ciao a tutti, ho un altro problemino con un esercizio:
Un satellite ruota su un'orbita circolare con raggio uguale alla metà del raggio dell'orbita lunare. qual è il suo periodo di rivoluzione espresso in mesi lunari? (il mese lunare è il periodo di rivoluzione della Luna intorno alla terra).

Sono andata a vedere e ho trovato che il raggio dell'orbita lunare è 384400 km

ho poi usato la formula $T^2/R^3=(4\pi^2)/(G M)$; un informazione per il raggio devo solo inserire la metà del raggio dell'orbita lunare, o devo aggiungere anche qualcos'altro?

Grazie in anticipo

[eugenio.amitrano]

Va bene la formula della terza legge di keplero

sapendo che $T^2/R^3=K$
puoi porre $T_1^2/R_1^3=T_2^2/R_2^3$ dove $T_1$ $R_1$ sono riferiti alla luna e $T_2$ $R_2$ al satellite o viceversa.

Correzione: Ho corretto da $R_1^2$ a $R_1^3$

[Faussone]

Ok.
Io comunque suggerisco sempre di lasciare stare di usare la terza legge di Keplero, il cui enunciato poi non è facile ricordare bene.

Le leggi di Keplero sono infatti conseguenza della legge di gravitazione universale di Newton (che fu supposta proprio perché soddisfa le leggi di Keplero), quindi basta ricordare quella.

In tal caso la formula finale scritta da schoggi è corretta, e deriva dall'imposizione (solita) che la forza centripeta è fornita dalla forza di attrazione gravitazionale (o equivalentemente, in un sistema di riferimento che vede il satellite fermo, che la forza centrifuga che sente il satellite è bilanciata dall'attrazione gravitazionale).

$m omega^2 R = G *(m*M)/R^2$

da cui si ottiene facilmente l'espressione per il periodo.

@schoggi: ricorda che le distanze sono sempre intese considerando i centri di massa dei corpi (se sferici e omogenei almeno, come si suppongono in questo tipo di applicazioni).

[eugenio.amitrano]

Perchè lasciarla stare?
É facile, è valida, per di più è anche la prima formula che è venuta in mente schoggi...
Quando la Temperatura è costante non è necessario ricorrere alla legge dei gas ideali basta legge di Boyle.
Non trovi?

[Faussone]

Il mio è un consiglio basato sull'esperienza e nulla di più.
La terza legge di Keplero non la ricordo mai bene, e non mi sforzo di ricordarla visto che posso ricavarla con due passaggi senza rischiare di sbagliare, così come dalla legge dei gas perfetti che vale in generale posso derivarmi facilmente i casi particolari.

Secondo me è meglio imparare a memoria solo le cose che servono davvero, soprattutto quando le leggi più generali (gas perfetti, gravitazione per esempio) sono così semplici.

[schoggi]

Grazie mille, io preferisco ancora usare la formula che ho scritto perchè intanto ho imparato solo quella.
Il risultato non mi esce, però credo sia giusto il procedimento, quindi volevo chiedere se era giusto usare come R1 il raggio dell'orbita lunare(circa 384400 km), come periodo ho usato quello orbitale è cioè di circa 27.32 giorni, e come R2 il raggio dell'orbita lunare più la sua metà(e cioè 576600 km) ?

Grazie ancora

[eugenio.amitrano]

Dal testo mi sembra $R2 = R1 / 2$,
Inoltre non ti serve sapere il periodo dell'orbita lunare perchè vuole sapere il risultato in periodi lunari....

Come avrai fatto $T_2 = T_1 * sqrt(((R_2^3)/(R_1^3)))$ quindi quello che t'interessa è solo $sqrt(((R_2^3)/(R_1^3)))$

[schoggi]

Grazie mille, il risultato esce e mi sembra di aver capito!