Condizioni iniziali nell'equazione di Hamilton-Jacobi

[dissonance]

Sto leggendo sul libro di Evans Partial Differential Equations, terzo capitolo, un po' di teoria matematica dell'equazione di Hamilton-Jacobi

\( \displaystyle \begin{cases} u_t+H(Du, x)=0 & (x, t) \in \mathbb{R}^n \times (0, \infty) \\
u(x, t)=g(x) & (x, t) \in \mathbb{R}^n \times \{0\} \end{cases} \) .

Ora il significato fisico di questa equazione non è proprio alla mia portata perché conosco pochino l'argomento "trasformazioni canoniche". Grossomodo capisco che una soluzione \( \displaystyle u \) è la funzione generatrice di una trasformazione canonica che permette di descrivere il moto di un sistema... ok, ma allora il dato iniziale \( \displaystyle g \) cos'è? Se penso al "dato iniziale" del moto di un sistema mi viene in mente un insieme finito di condizioni: la coordinata tot all'istante \( \displaystyle 0 \) vale tanto, la coordinata tot vale tanto ... Cosa rappresenta invece questa funzione che ha l'aria di una "distribuzione" di qualcosa?

P.S.: Ho consultato al riguardo il libro di Goldstein (3a edizione, §10.1). Leggo che, data l'equazione di Hamilton-Jacobi (cambio notazione)

\( \displaystyle H(\mathbf{q}, D_{\mathbf{q}}S(\mathbf{q}, t), t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0 \) ,

si risale da questa al moto del sistema attraverso un suo integrale completo

\( \displaystyle S=S(q_1 \ldots q_n ; \alpha_1 \ldots \alpha_n ; t) \)

ovvero una famiglia a \( \displaystyle n \) parametri indipendenti \( \displaystyle \alpha_1 \ldots \alpha_n \) di soluzioni. (*) Difatti data una famiglia come questa si ricavano le equazioni

\( \displaystyle \begin{cases} p_h= \frac{\partial S (q_i, \alpha_i, t)}{\partial q_h} \\ \beta_h=\frac{\partial S(q_i, \alpha_i, t)}{\partial \alpha_h} \end{cases} \)

dove le lettere greche indicano costanti del moto. Allora imponendo in queste ultime equazioni le condizioni iniziali \( \displaystyle \mathbf{q}(0)=\mathbf{q}_0, \mathbf{p}(0)=\mathbf{p}_0 \) si possono risolvere \( \displaystyle \alpha_1 \ldots \alpha_n, \beta_1 \ldots \beta_n \) e così ottenere finalmente le equazioni del moto del sistema.

Ma allora che c'entra quella condizione iniziale \( \displaystyle g \) ? Probabilmente, scegliendo opportunamente condizioni iniziali, si giunge alla costruzione di un integrale completo, un po' come nelle equazioni differenziali ordinarie si costruisce un integrale generale assegnando opportunamente problemi di Cauchy. Che ne pensate?

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(*) I parametri sarebbero \( \displaystyle n + 1 \) ma uno di essi è una costante additiva ininfluente ai fini del problema.