derivata temporale di una funzione

[fonzimase]

salve a voi..devo calcolare come da oggetto la derivata temporale di una funzione, i cui parametri dipendono intrinsecamente dal tempo; premetto che non sono riuscito ad inserire il segno di moltiplicazione ( $ * $ ), che nella notazione che segue è stato sostituito dall'asterisco (*)
la funzione é:

$dot x$ * $sin^2$x$

dove $dot x$ ed "x" dipendono intrinsecamente dal tempo..e in cui $dot x$ è la derivata prima, temporale di x

il mio risultato (usando la regola di derivate composte) sarebbe:

$ddot x$ * $sin^2$x + $dot x$ * (2sinx * cosx)

ma al mio prof risulta:

$ddot x$ * $sin^2$x + $dot x$ * (2sinx * cosx * $dot x$)

noto subito che la differenza sta nel fatto che a lui compare un $dot x$ in più, quindi devo derivare anche la x rispetto al tempo;

quindi $sin^2$x è una derivata composta da derivare ancora rispetto al tempo?

[Akuma]

si come fa il prof è giusto. va derivato il seno, e poi la funzione interna che è $x$. è la regola di derivazione della funzione composta.

[Jackonzo]

Ciao a tutti, mi sono appena registrato e prima di porre la mia domanda volevo farvi i complimeti per il forum che mi ha già aiutato un paio di volte in passato.

Sono uno studente di ingegneria e sto preparando l'esame di meccanica razionale, ma ho un dubbio sulle derviate temporali.
Per spiegarmi meglio vi porto come esempio parte di un esercizio che ho svolto, dove con L indico la lagrangiana del sistema ed r e \( \displaystyle \wp \) [/tex] (dovrebbe essere "teta", ma non ho trovato il simbolo) sono i parametri lagrangiani.

\( \displaystyle L = 1/2 (\dot{r}^2+r^2\dot{\wp}^2)+\dot{r}\*e^r\wp^2+2\wp\dot{\wp}e^r-1/r^2 \)

Voglio calcolare l'euazione di Eulero - Lagrange (ad esempio rispetto a \( \displaystyle \wp \) ):

\( \displaystyle d/dt (\partial L/\partial \dot{\wp})=\partial L/\partial \wp \)

Il mio dubbio è su come si calcolano le derivate temporali, e siccome non riesco bene a spiegarmi continuo con l'esempio scrivendo le due soluzioni che ottengo in base a come derivo.

1)
\( \displaystyle \dot{r}^2\dot{\wp}+r^2\ddot{\wp}+ 2\dot{\wp}e^r+2\wp\dot{r}e^r = 2\dot{r}e^r\wp+2\dot{\wp}e^r \) che poi viene semplificata

2)
\( \displaystyle 2r\dot{r}\dot{\wp}+r^2\ddot{\wp}+2\dot{\wp}e^r+2\wp e^r\dot{r} = 2\dot{r}e^r\wp+2\dot{\wp}e^r \)

Quale delle due è giusta?

Grazie in anticipo

PS: Il colmo è se sono entrambe sbagliate

[orazioster]

La seconda mi sembra giusta, dovrei controllare meglio.
Infatti $d/(dt)r^2=2r\dotr$.

[Jackonzo]

Grazie
Quindi la regola è: prima derivo "non rispetto al tempo", il risultato poi lo derivo rispetto al tempo?

[ing@mate]

Non è proprio il risultato che devi derivare rispetto al tempo..
In questo caso, secondo la regola di derivazione di funzioni composte, il 'risultato' va moltiplicato per la funzione(dipendente dal tempo) derivata nel tempo.

In generale: $ [f(g(t))]'= f'(g(t)) * g'(t) $

Nel tuo caso $ f(g(t))=r^2 $ mentre $ g(t)= r $

[orazioster]

$"d"/("d"x) f "("$ $g "("$ $h "("..."("$ $n(x) ")"$ $")"$ $")"$ $")"$$= ("d"f)/("d"g)"*"("d"g)/("d"h)"*"...("d"n)/("d"x)$

[Jackonzo]

Capito.
Grazie a tutti!