sfera conduttrice

[bord89]

una sfera conduttrice scarica al tempo t=0 di raggio r=14.9 cm viene caricata da un filo conduttore rettilineo che raggiunge un polo della sua superficie. nel filo scorre una corrente continua I=9.23 $ \mu A $. si scelga un sistema di coordinate sferiche con origine nel centro della sfera e asse polare identificato dal filo, in modo che il punto su cui arriva il filo sia il polo a $ \theta =0$. si supponga che la densità di carica sulla superficie della sfera sia sempre uniforme. determinare la carica in $ \mu C$ presente sulla calotta polare $ \theta < 0.511 rad$ al tempo t=2.37 s.

io sono riuscito solo ad impostare l'equazione $I= int_(S)^() Jds $ (sempre se serve) dove J è la densità di corrente e la superficie della calotta dovrebbe essere $A=2 \pi r^2sen\theta (1-cos\theta)$.

qualcuno mi sa dare qualche ragguaglio?
grazie

[elgiovo]

La carica totale che arriva sulla sfera è semplicemente \( \displaystyle Q_{\text{tot}}=It \) , quindi la carica sulla calotta sarà \( \displaystyle Q_{\text{tot}} \frac{A_{\text{calotta}}}{A_{\text{sfera}}} \) , visto che la densità è uniforme.

[bord89]

cavolo è vero! era talmente banale che non ci avevo pensato..
vediamo se puoi aiutarmi anche con la seconda parte dell'esercizio nella quale viene chiesto di determinare il modulo della densità di corrente che scorre sulla superficie della sfera, in un punto del bordo della calotta considerata. ne ho pensate tante ma non mi torna mai il risultato esatto.

grazie ancora!

[elgiovo]

Non capisco la richiesta. Posta il testo preciso del problema.

[bord89]

non ho distorto molto il testo originale che comunque è il seguente: "determinare il modulo della densità di corrente, in A/m, che scorre sulla superficie della sfera, in un punto del bordo della calotta sferica",
cioè il modulo del vettore \( \displaystyle \overrightarrow{J} \) in un qualsiasi punto della sfera che abbia r=14.9 cm e $\theta=0.511 rad$.

è più chiaro adesso?

[elgiovo]

Ah ecco, è una densità in A/m (di solito si considera in A/m^2). Io farei così: la variazione di carica sulla calotta è dovuta alla corrente che scorre sul bordo della calotta, dunque

\( \displaystyle 2\pi h J=\frac{\partial Q_{\text{calotta}}}{\partial t}\rightarrow J=\frac{I}{2 \pi h}\frac{A_{\text{calotta}}}{A_{\text{sfera}}} \)

per quanto visto nel punto precedente. Qui \( \displaystyle h \) è ovviamente la distanza tra il bordo della calotta e l'asse verticale.

[bord89]

allora ho provato col metodo che mi hai suggerito e mi viene:

\( \displaystyle 2\pi h J=\frac{\partial Q_{\text{calotta}}}{\partial t}\rightarrow J=\frac{I}{2 \pi h}\frac{A_{\text{calotta}}}{A_{\text{sfera}}}=\frac{I(1-cos \theta)}{4 \pi rsen \theta }=1.29 * 10^{-6} A/m \) , mentre il risultato esatto dovrebbe essere $1.89*10^(-5) A/m$.

ho però notato che se fosse \( \displaystyle J=\frac{I(1+cos \theta)}{4 \pi rsen \theta } \) , allora il risultato tornerebbe esatto.

quindi, rileggendo un po' gli appunti, ho visto che in verità \( \displaystyle 2\pi h J=-\frac{\partial Q_{\text{calotta}}}{\partial t} \) e che forse va considerato anche che il filo esce dalla sfera e c'è da considerare anche quella corrente uscente. conseguentemente l'equazione che mi dà \( \displaystyle J \) potrebbe essere:
\( \displaystyle 2\pi rsen \theta J-I=-\frac{I(1-cos \theta)}{2} \) da cui \( \displaystyle J=\frac{I(1+cos \theta)}{4 \pi rsen \theta } \)

pensi che possa essere giusto?

[elgiovo]

Si direi che va bene.