[MQ] Buca di potenziale

[VINX89]

"Una particella confinata in una buca infinita unidimensionale di larghezza L è perfettamente localizzata al tempo $t=0$ nel punto centrale della medesima.
a) Calcolare le probabilità dei valori possibili dell'energia della particella e il valor medio dell'energia stessa
b) Calcolare la funzione d'onda ad un tempo $t$ generico, e descriverne qualitativamente il comportamento."

Supponiamo che le "pareti" della buca infinita siano in $x=0$ e $x=L$; la particella in $t=0$ si trova con certezza in $x=L/2$, quindi:

$|Psi (x,0)|^2 = delta (x - L/2)$.

Le autofunzioni dell'energia ed i rispettivi autovalori, come noto, sono:

$psi_n (x,0) = sqrt(2/L) sin ((n pi x)/L)$; $E_n = (bar(h)^2 pi^2 n^2)/(2 m L^2)$

Le probabilità dei possibili valori dell'energia $E_n$ sono i moduli quadri dei coefficienti $c_n$ della proiezione dello stato $|Psi(x,0)>$

sugli autokets $|psi_n(x,0)>$: $|Psi> = Sigma_n |psi_n><psi_n|Psi> = Sigma_n c_n |psi_n> -> c_n = <psi_n|Psi>$.

Posso scrivere $c_n = int dx <psi_n|x><x|Psi>$ per la completezza degli autokets di posizione. Per risolvere la prima parte, a questo punto, dovrei trovare

$c_n^2$. Il problema è che l'integrale non sò risolverlo: infatti, nell'integrando c'è $<x|Psi>$ che è incognito, in quanto conosco solo il suo modulo quadro (che è la delta di Dirac). Se calcolo il modulo quadro dell'integrale, potrei "portare il modulo" dentro l'integrale, ma per la disuguaglianza triangolare non avrei il risultato preciso ma solo una un maggiorante.
Aiuto! Grazie.

[lucagalbu]

Se non sbaglio, la delta di dirac è la funzione d'onda e non il modulo quadro, cioè:
$\Psi(x,0)=<x|\Psi> =\delta(x-L/2)$

[baldo89]

perchè? potresti argomentare.grazie.
comunque nelle soluzioni il libro fà esattamente come fai te

[rbtqwt]

Dire che la particella è perfettamente localizzata è come dire che $\psi$ è un "autostato di posizione", ossia "autovettore" di $Q$.

[lucagalbu]

Se $|x>$ e $|x'>$ sono le autofunzioni dell'operatore posizione con autovalori $x$ e$x'$ rispettivamente, allora affinchè siano ortonormali devono soddisfare:
$<x|x'> =\delta(x-x')$
ma $<x|x'>$ è la proiezione dello stato $|x'>$ su un autostato della posizione, cioè è quella che viene chiamata funzione d'onda dello stato $|x'>$, percui:
$\phi(x')=<x|x'> =\delta(x-x')$
dove $\phi(x')$ è l'autofunzione cercata.

[VINX89]

Grazie per l'aiuto!

[baldo89]

grandissimo!