Formule di derivazione cinematica

[anonymous_ed8f11]

Salve, ho studiato in Meccanica Razionale il teorema di Poisson, e dopo averlo dimostrato, tra le sue conseguelze sono state ricavate le formule di derivazione cinematica. Il mio problema è che non riesco a capire bene il ragionamento, e volevo esporlo al forum per vedere se magari si riusciva a capirne di più.

Ricordo brevemente il Teorema di Poisson:
Sia $R$ un rigido in un qualunque moto dipendente da un parametro $\tau$, e siano $O$ e $P$ due punti appartenenti allo spazio solidale al rigido (dunque entrambi fermi rispetto al sistema di riferimento solidale per ipotesi di rigidità).
Allora esiste un unico vettore $\vec \omega in E^3$ tale che $(d \vec x_P)/(d \tau)=(d \vec x_O)/(d \tau)+\vec \omega xx (\vec x_P - \vec x_O)$

Formule di derivazione cinematica:
Si consideri un sistema di riferimento fisso $\mathcal F=(\hat e_x, \hat e_y, \hat e_z)$ ed un sistema di riferimento mobile $\mathcal M=(\hat e_1, \hat e_2, \hat e_3)$. (non ho capito bene di quali caratteristiche debba godere questo sistema di riferimento mobile, comunque andiamo avanti...)
Riscrivendo la formula di Poisson $d/(dt)(\vec x_P- \vec x_O)=\vec \omega xx (\vec x_P - \vec x_O)$
le derivate rispetto al tempo dei versori del sistema di riferimento mobile $\mathcal M$ espresse rispetto alla terna fissa $\mathcal F$ risultano valere $d/(dt)(\hat e_i)=\vec \omega xx \hat e_i" ", i=1,2,3$, mentre espresse rispetto alla terna mobile stessa sono tutte ovviamente nulle.

Poi si considera un vettore variabile nel tempo $\vec u (t)=(u_x,u_y,u_z)_{\mathcal F}= (u_1,u_2,u_3)_{\mathcal M}$, ovvero, utilizzando la notazione estesa $\vec u (t)=u_x \hat e_x+u_y \hat e_y+u_z \hat e_z=u_1\hat e_1+u_2 \hat e_2+u_3 \hat e_3$. La sua derivata rispetto ai due sistemi di riferimento vale:
$(d \vec u)/(dt)|_{mathcal F}=\dot u_x \hat e_x+\dot u_y \hat e_y+\dot u_z \hat e_z$
$(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}=\dot u_1\hat e_1+\dot u_2 \hat e_2+\dot u_3 \hate_3 +u_1d/(dt)(\hat e_1)+u_2 d/(dt)(\hat e_2 )+u_3 d/(dt)(\hat e_3 ) $ per la regola di derivazione del prodotto, e poi si possono sostituire ai versori della seconda parte le relative derivate calcolate precedentemente: $d/(dt)(\hat e_i)=\vec \omega xx \hat e_i" ", i=1,2,3$

Secondo me la seconda derivata non è corretta, perchè le coordinate $u_1, u_2,u_3$ non possono essere variabili nel tempo. Se lo fossero allora il vettore $\vec u$ non potrebbe più essere il vettore tra due punti di un rigido, e quindi cadendo l'ipotesi di rigidità non sarebbe più applicabile Poission, nè le derivate dei versori calcolate grazie ad esso.
Cosa ne pensate?

[anonymous_ed8f11]

Sono passate un paio di settimane dal primo messaggio, ed avando visto che non ci sono state risposte faccio un piccolo up.

Come forse qualcuno noterà ho modificato il testo originale del primo messaggio per renderlo più facilmente comprensibile, e sono già riuscito a risolvere da solo alcuni dei dubbi che avevo avuto inizialmente.
Purtroppo il dubbio principale permane, e per risolverlo spero nel vostro aiuto

Ringrazio in anticipo, Lorenzo

[Falco5x]

Mi sembra giusto quello che dici, da cui si conclude che essendo nulle nel sistema mobile le $\dotu_i$, nel sistema mobile si ha semplicemente $(d\vecu)/(dt)=\vec\omega xx\vecu$.
Però non so se è questo che intendevi.

[anonymous_ed8f11]

Si scusami, avrei dovuto postare anche gli ultimi passaggi, anche se non li capivo

La derivata di cui parli anche dai miei appunti da proprio il risultato che dici tu , infatti:
$(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}=\dot u_1\hat e_1+\dot u_2 \hat e_2+\dot u_3 \hate_3 +u_1d/(dt)(\hat e_1)+u_2 d/(dt)(\hat e_2 )+u_3 d/(dt)(\hat e_3 )= u_1 \vec \omega xx \hat e_1+u_2 \vec \omega xx \hat e_2+u_3 \vec \omega xx \hat e_3=\vec \omega xx (u_1\hat e_1+u_2 \hat e_2+u_3 \hat e_3)=\vec \omega xx \vec u$
Fin quì ci sono arraivato, soltanto non capisco come mai derivando rispetto al sistema di riferimento mobile $\mathcal M$ sia necessario derivare anche i versori dei suoi assi. Intendo dire che fatto così è come se questa derivata fosse espressa rispetto al sistema fisso in qualche modo, perchè il sistema $\mathcal M$ non può "sapere" di essere mobile. Lo è solo rispetto ad un altro riferimento.

L'ultimo passaggio comunque è $(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal F}=(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}+\vec \omega xx \vec u$, e forse non ci arrivo a come si ricava proprio a causa dei dubbi che ho appena espresso..

[Falco5x]

Ah beh allora la cosa cambia aspetto, credo che nei tuoi appunti ci sia un po' di confusione e vediamo se interpreto giusto.

Per fissare le idee consideriamo il sistema fisso centrato sul sole e orientato verso le stelle fisse, mentre il sistema mobile è solidale con la terra, ruota con essa nei moti di rivoluzione e rotazione e ha l'origine nel centro della terra e l'asse z coincidente con l'asse terrestre.
Se consideriamo un qualsiasi punto della superficie terrestre, la sua velocità assoluta rispetto al sistema fisso è uguale a quanto dice Poisson, ovvero la velocità del centro della terra più (in senso vettoriale) il prodotto tra la velocità angolare e il vettore posizione nel sistema mobile, che è un vettore di lunghezza fissa perché la terra è un corpo rigido.

Adesso però vogliamo fare un passo in più, e vogliamo vedere la velocità di un corpo che si muove sulla superficie della terra, o anche sopra di essa. Prendiamo dunque un aereo che si alza in volo. La posizione di questo aereo nel sistema terra la chiamiamo $vecu$. Dunque questo non è un vettore fisso nel sistema terra, ma un vettore variabile. Se vogliamo esprimere la velocità assoluta dell'aereo nel sistema sole, allora dubbiamo derivare $vecu$ nel tempo. Ecco che allora esce la derivata che non capivi, nella quale anche le componenti di $vecu$ nel sistema terra sono variabili, non solo i versori.

Alla fine si giunge all'ultima relazione che dice che la velocità dell'aereo nel sistema sole è uguale alla velocità vettoriale dell'aereo nel sistema terra a cui si deve aggiungere la velocità di "trascinamento" tipica del luogo dove si trova l'aereo che è appunto la velocità del centro della terra più (in senso vettoriale) $vec\omega xx \vecu$.

Allora, ci ho azzeccato?

[anonymous_ed8f11]

Grazie, mi hai chiarito molto le idee con l'esempio dell'aereo, te ne sono molto grato

Da quello che ho capito quindi la derivata che avevamo scritto prima non è più corretta, cioè
$(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}=\dot u_1\hat e_1+\dot u_2 \hat e_2+\dot u_3 \hate_3 +u_1d/(dt)(\hat e_1)+u_2 d/(dt)(\hat e_2 )+u_3 d/(dt)(\hat e_3 )=$
non essendo costanti le componenti di $\vec u$ rispetto al sistema mobile
$=\dot u_1\hat e_1+\dot u_2 \hat e_2+\dot u_3 \hate_3+ u_1 \vec \omega xx \hat e_1+u_2 \vec \omega xx \hat e_2+u_3 \vec \omega xx \hat e_3=\dot u_1\hat e_1+\dot u_2 \hat e_2+\dot u_3 \hate_3+\vec \omega xx (u_1\hat e_1+u_2 \hat e_2+u_3 \hat e_3)=\dot u_1\hat e_1+\dot u_2 \hat e_2+\dot u_3 \hate_3 +\vec \omega xx \vec u|_{\mathcal M}$

Il problema però è che nei miei appunti c'è scritto che $(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}=\vec \omega xx \vec u$ proprio come ci veniva prima (non è specificato rispetto a quale base considerare $\vec u$), e purtroppo la dimostrazione ci era stata data per casa

A questo punto non so neanch'io cosa pensare, se $\vec u$ avesse componenti costanti rispetto al sistema mobile basterebbe applicare Poisson come mi hai fatto notare, quindi non avrebbe senso tutto questo lavoro. Quindi per forza $\vec u$ deve spostarsi rispetto al sistema mobile, come l'aereo rispetto alla Terra... solo che con i conti non mi ci ritrovo perchè sembrava venir giusto prima!

[Falco5x]

L'ultimo passaggio comunque è $(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal F}=(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}+\vec \omega xx \vec u$, e forse non ci arrivo a come si ricava proprio a causa dei dubbi che ho appena espresso..

Però questa cosa che avevi scritto contrasta con quanto dici adesso, somiglia di più a quanto avevo dedotto io, ovvero che la velocità nel sistema fisso è uguale alla velocità nel sistema mobile più la velocità di trascinamento $\vec \omega xx \vec u$(anche se qua si dimentica la velocità del punto O' origine del sistema mobile, ma è un dettaglio).
Dunque nei tuoi appunti c'è una incongruenza?

[anonymous_ed8f11]

Sto controllando tutte le volte in cui è stata usata questa formula negli appunti, dopo ti saprò dire qualcosa di più riguardo le incongruenze. Comunque è molto simile a Poisson stesso, io non vedo una sostanziale differenza tra Poisson e questa formula quì: $(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal F}=(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}+\vec \omega xx \vec u$

[Falco5x]

Sto controllando tutte le volte in cui è stata usata questa formula negli appunti, dopo ti saprò dire qualcosa di più riguardo le incongruenze. Comunque è molto simile a Poisson stesso, io non vedo una sostanziale differenza tra Poisson e questa formula quì: $(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal F}=(d \vec u)/(dt)|_{\mathcal M}+\vec \omega xx \vec u$

La differenza sta nel fatto che poisson è riferita al moto di un punto solidale col sistema mobile rigido che roto-trasla (sistema O') visto dal sistema fermo (sistema O), mentre questa mette in relazione il moto di un punto che si muove anche nel sistema O' con il moto del medesimo visto da O.
In altre parole poisson definisce quella che si dice comunemente velocità di trascinamento del sistema O', mentre questa ultima formula aggiunge al moto di trascinamento il moto relativo di un corpo che si muove anche nel sistema O'. Però secondo me alla velocità di trascinamento qui indicata, cioè la $\vec\omegaxx\vecu$, manca la velocità del punto O' vista dal sistema O, cioè la $(\dvec(X_(O')))/(dt)$.

[speculor]

Ai tempi di meccanica razionale, un po' di anni fa purtroppo, il teorema di Poisson era quello che esprimeva le derivate dei versori mobili mediante un unico vettore omega. La prima formula del primo intervento era nota come "Formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi". Strano che cambino così velocemente i nomi dei teoremi.
In ogni modo, quando si studia il moto del corpo rigido le cose sono più semplici in quanto le coordinate relative sono invariabili con il tempo. Quando si studia il moto relativo bisogna tenere conto anche di queste, senza buttare via i concetti dimostrati precedentemente.
Dal tenore della vostra discussione, credo che ormai questo vi fosse comunque chiaro.