[Onde] Velocità di gruppo

[dissonance]

Questo di velocità di gruppo è un concetto che fatico a mandare giù. Sto leggendo questa introduzione al moto ondoso:

http://www.student.math.uwaterloo.ca/~a ... motion.htm

e l'autore parte subito con un discorso non chiaro. Infatti lui prende due onde sinusoidali $y_1(t, x)=A cos(k_1x-omega_1t), y_2(t, x)=Acos(k_2x-omega_2 t)$ e dichiara che esse traslano con velocità di fase $v_{p, 1}=frac{omega_1}{k_1}, v_{p,2}=frac{omega_2}{k_2}$. Di questo mi sono convinto, perché ho pensato: se io osservatore mi metto a camminare lungo l'asse delle $x$ con velocità $frac{omega_1}{k_1}$, ovvero mi sposto lungo la traiettoria di equazione

$x=(omega_1)/(k_1)t$,

quello che vedo è $f(t, (omega_1)/(k_1)t)=A$, una costante. Ovvero, non vedo niente: quindi mi sto muovendo solidalmente con l'onda.

Ora però l'autore sovrappone le due onde:

$y(t, x)=y_1(t, x)+y_2(t,x)=2Acos((k_1+k_2)/2 x - (omega_1+omega_2)/2 t)cos((k_1-k_2)/2x-(omega_1-omega_2)/2 t)$ (1)

ottenendo quindi una cosa più complicata di cui non è immediato definire una "velocità". Però lui lo fa lo stesso introducendo la velocità di gruppo $v_g=(Delta omega)/(Delta k)$, ovvero la velocità della seconda sinusoide nel membro destro della (1).

Questo concetto non riesco tanto a capirlo. Per esempio, sovrapponiamo le due sinusoidi gialla e grigia:

otteniamo un oggetto per cui certamente non possiamo fare lo stesso discorso di prima. Se ci mettiamo a camminare con velocità uniforme, qualsiasi essa sia, certamente verremo attraversati dalla perturbazione nera. C'è da dire che, sovrapponendo i grafici dell'onda risultante $y(t, x)$ e dell'onda $2Acos((k_1-k_2)/2x-(omega_1-omega_2)/2 t)$ si ha un risultato interessante:

La sinusoide rossa, che si muove alla velocità di gruppo $v_g$, sembra essere "tangente" in qualche senso all'onda nera. Due domande:

• Perché abbiamo eletto questa sinusoide rossa a portatrice della velocità di tutto il gruppo?
• Quali informazioni relative all'onda nera sono contenute nella sinusoide rossa? Perché si ha questa sensazione di scorrimento uniforme di una sull'altra?

[VINX89]

Quando sommi le due onde, ottieni una velocità di fase $v_f = (<omega>)/(<k>)$ ed una velocità di gruppo $v_g = (Delta omega)/(Delta k)$
Se ho capito bene il tuo dubbio, in sostanza non ti è chiaro perchè sia proprio la velocità di gruppo, così definita, a rappresentare la velocità di spostamento di tutto il pacchetto.
Il motivo è piuttosto semplice. Considera l'onda risultante $y = y_1 + y_2 =2A cos (<k>x - <omega>t) cos((Delta k)/2 x- (Delta omega)/2 t)$.
Immagina ora di fissare un generico istante $t$: quello che si vede lungo l'asse $x$ è una "fotografia" dell'onda in quell'istante.
$Delta k$, per come è definito, è più piccolo di $<k>$; questo vuol dire che la lunghezza d'onda del secondo fattore $(2 pi)/(Delta k)$ è più grande della
lunghezza d'onda del primo fattore $(2 pi)/(<k>)$.
Quindi il secondo fattore, che varia meno rapidamente lungo x, si comporta come "modulatore di ampiezza" per il primo fattore: dal punto di
vista grafico, puoi immaginare la prima cosinusoide, con lunghezza d'onda minore, "inscritta" nella seconda cosinusoide.
In definitiva, la prima cosinusoide, che viaggia con velocità $v_f$, rappresenta la "vera" funzione d'onda; la seconda è piuttosto da considerarsi come un fattore moltiplicativo, un'ampiezza dell'onda che però dipende da posizione e tempo, e che descrive come il pacchetto "globalmente" evolve nel tempo ed in funzione della posizione.

[dissonance]

Grazie VINX ma questo per la verità lo avevo capito. Me ne sono fatto anche una ragione dal punto di vista strettamente matematico facendo i conti con gli esponenziali complessi, il che fa vedere bene il discorso sulla modulazione di ampiezza che fai tu. Diciamo che grosso modo ci sono, ma non sono del tutto convinto, ecco.

Per esempio, facciamo un discorso di energia? Si può assegnare una energia all'onda? Sarà mica che l'onda rossa (mi riferisco all'ultimo disegnetto animato), ovvero il "modulatore di ampiezza", descrive il flusso di energia di tutta l'onda?

[sonoqui_]

Si può definire una successione che dia la distribuzione di energia mediamente presente all'interno dell'intervallo spaziale costituito dalla lunghezza dell'onda a minore velocità $(Deltaomega)/(Deltak)$, ad un dato istante, mediando su un numero di intervalli, $n$, adiacenti. Per $n$ che tende all'infinito si dovrebbe rocavare una relazione tra il grafico nello spazio dell'onda a più bassa velocità all'istante $t$ e la distribuzione così calcolata.

[sonoqui_]

Giusto una osservazione che mi viene da fare riguardo alla velocità di fase.
Se immaginiamo di avere una particella (un tratto molto piccolo parallelamente al quale si muove l'onda) che si muove nello spazio con una certa velocità perpendicolare al fronte d'onda, che ha come energia quella data dalla distribuzione di energia dell'onda, avremo che per ogni punto delle spazio dovrà essere verificata un'altra equazione differenziale alle derivate parziali, che ci fornisce il bilancio della derivata materiale dell'energia della particella (distribuzione di energia), cioè la derivata rispetto al tempo dell'energia della particella seguendo il suo moto.
L'equazione che soddisfa in generale sarà di questo tipo:
$c(\partiale(t,x))/(partialx)-\(partiale(t,x))/(partialt)=g(x,t)$
$g(x,t)$ si può vedere come l'energia per unità di lunghezza generata nello spazio.
Se $c$ è proprio la velocità di fase dell'onda sinusoidale non nulla allora $g=0$ ed il suo modulo medio su tutto l'asse reale è minimo.
Riguardo alla velcità di gruppo della sovrapposizione di due onde non so se possa essere trovata una particolarità di questo tipo.

[dissonance]

Penso proprio di si. Non mi stupirei affatto se saltasse fuori che la sovrapposizione di due onde verifica quell'equazione che hai appena scritto (che io conosco come equazione del trasporto) con $c="velocità di gruppo"$.

Come si ricava $e(t, x)$ da $u(t,x)$?

[sonoqui_]

è la distribuzione di energia lungo l'asse x al tempo t.
Nel caso di sovrapposizione di due sinusoidi la $g(x,t)$ dovrebbe non annullarsi per alcun valore della velocità $c$, ma per velocità uguale a quella di gruppo dovrebbe essere minimo il suo modulo medio lungo l'asse x.

[dissonance]

Ok, ma aspetta solo un attimo, la domanda era un'altra.

Qual è la relazione funzionale tra $e(t, x)$ e $u(t, x)$?

Sempre che esista e sia semplice, naturalmente. Immagino che coinvolga $(partial u)/(partial t)$, no?

[sonoqui_]

$e(x,t)=\lim_{T\rightarrow 0}1/(2T)*\int_(x-T)^(x+T)|u(a,t)|^2da$

Quello che mi chiedo come prima cosa è come sia possibile mostrare che nel caso di sovrapposizione di due sinusoidi diverse, indicando con $L$ la lunghezza d'onda della sinusoide immaginaria che si muove alla velocità di gruppo, e suddividendo l'asse delle posizioni in $n$ intervalli consecutivi pari a questa lunghezza

$\lim_{n\rightarrow \infty} 1/(2n)\sum_(k=-n)^(n)|u(x_0(t)+x+kL,t)|^2=h(s(x_0+x,t))$ con $0<=x<=L$

Dove $h$ è una certa funzione (funzione solo di $s$ o al più esplicitamente anche di $x$ ma non del tempo), $s$ è la sinusoide immaginaria che si muove con la velocità di gruppo e $x_0(t)$ è un punto di riferimento fissato su questa sinusoide, cioè un punto in cui la sinusoide assume un valore costante al variare del tempo.

Quindi cercherei di capire quale particolarità abbia la funzione $g(x,t)$ nell'equazione del bilancio dell'energia con velocità $c$ pari a quella di gruppo.