oscillatore armonico forzato. teoria

[jollothesmog]

il caso studio è
massa+molla+attrito viscoso+ forza periodica variabile nel tempo con legge sinusoidale
da cui si ottiene la l'equazione differenziale del moto
$(d^2x)/(dt^2)+(2gamma(dx)/(dt))+ ((omega_0)^2*x)=(F_0)/m*sin omega*t$ (per comodità la chiamo *)con $gamma=lambda/(2m)$ e $omega_0=sqrt(k/m)$
fin qui ci sono
Adesso dobbiamo determinarci A e $phi$.
potremmo svolgerla come equazione differenziale, ma il prof vuole la dimostrazione con la costruzione di Fresnel, ossia:
il moto armonico semplice è la proiezione di un moto circolare uniforme e quindi rappresentabile con vettori rotanti

sappiamo
x(t)=Asin($omegat+phi$)
v(t)=$Aomega sin(omegat+phi+pi/2)$
a(t)=$Aomega^2sin(omegat+phi+pi)$

A questo punto iniziano le lacune; nella dimostrazione delle dispense trovo scritto
"inseriamo x(t) v(t) e a(t) nella *
_$(d^2x)/(dt^2)=Aomega^2sin(omegat+phi+pi)$ -> vettore a
_$(2gamma(dx)/(dt)=2gammaAomega(omegat+phi+pi/2)$ ->$2gammav$
_$(omega_0)^2*x=(omega_0)^2Asin(omegat+phi)$->$(omega_0)^2x$ (x, v, a sono sopra-segnati)"

fin qui tutto normale
poi rappresenta i 3 vettori e conclude
"il modulo e la fase del vettore complessivo sono:
$((omega_0)^2A-omega^2A)^2+(2gammaAomega)^2$
la fase rispetto a x (sopra-segnato) $alpha=arctan ((2gamma omega)/((omega_0)^2-(omega)^2))$
dove $phi+alpha=$ fase rispetto all'orizzontale"

poi continua e li ho un altro dubbio, però prima volevo capire il motivo di quest'ultime conclusioni...

[jollothesmog]

rileggendo ho capito alcune cose... l'unico dubbio rimane su $alpha=....$

[Quinzio]

sappiamo
x(t)=Asin(ωt+φ)
v(t)=Aωsin(ωt+φ+π2)
a(t)=Aω2sin(ωt+φ+π)

Secondo me qua e la ci sono degli errori:
sarebbe

\( \displaystyle x(t)=Asin(\omega t + \phi) \)
\( \displaystyle v(t)=A \omega cos(\omega t + \phi) \)
\( \displaystyle a(t)=-A \omega^2 sin(\omega t + \phi) \)

a meno che questi non siano già i vettori, ma allora non ci sono seni e coseni.....
????

[jollothesmog]

le tue credo siano equivalenti applicando la somma tra funzioni trigonometriche ($sin(pi/2+alpha)=cosalpha$ etc...)
per quanto riguarda quell'$alpha=arctan ...$ ti viene in mente nulla?

[speculor]

Se utilizzi gli esponenziali (vettori rotanti) il procedimento è più semplice.
Tra l'altro, non vedo vettori rotanti nella tua dimostrazione.

[Quinzio]

le tue credo siano equivalenti applicando la somma tra funzioni trigonometriche ($sin(pi/2+alpha)=cosalpha$ etc...)
per quanto riguarda quell'$alpha=arctan ...$ ti viene in mente nulla?

Veramente ho solo applicato le derivate, per cui:
\( \displaystyle v(t) = {d \over dt} \ x(t) \)
\( \displaystyle a(t) = {d \over dt} \ v(t) \)

[cyd]

beh se consideri il generico vettore 'rotante' con fase iniziale $phi0$ $vec(x) = ( Acos(omega*t + phi0 ) , Asin(omega*t + phi0) )$
hai $dot(vec(x)) = ( -A*omega*sin(omega*t + phi0) , A*omega*cos(omega*t + phi0) )$
e $ddot(vec(x)) = ( -A*omega^2*cos(omega*t + phi0) , -A*omega^2*sin(omega*t + phi0) )$

l'equazione differenziale è scalare, e si riferisce alla rpoiezione dei vettori sull'asse x, quindi sostituendo le componenti lungo x dei tre vettori sopra hai:
$-A*omega^2*cos(omega*t + phi0) -2y*A*omega*sin(omega*t + phi0) + omega0*A*cos(omega*t + phi0) = F/msin(omega*t)$

tramite le formule di addizione: $A(omega0^2 - omega^2)cos(omega*t)cos(phi0) - A(omega0^2 - omega^2)sin(omega*t)sin(phi0) - 2yAomegacos(omegat)sin(phi0) - 2yAomegasin(omegat)cos(phi0) = F/msin(omegat)$

uguagliando i coefficienti di $cos(omegat)$ si ha: $A(omega0^2-omega^2)cos(phi0) -2yAomegasin(phi0) = 0$
uguagliando i coefficienti di $sin(omegat)$ si ha: $-A(omega0^2-omega^2)sin(phi0) -2yAomegacos(phi0) = F/m$

dalla prima si ha $tg(phi0) = (sin(phi0))/(cos(phi0)) = (omega0^2 - omega^2)/(2yomega)$
dalla seconda si otterrà A...

prova, non so sinceramente se sia giusto...