fucilata al parallelo

da **tony** » 06/11/2003, 18:55

Ciao a tutti!
Un problemino di fisica e di geometria, vediamo se riesco a descriverlo come si deve.

Vado a Piacenza (45 gradi di latit. N).
Con un colpo di bacchetta magica, fermo la terra per la durata dell'esperimento, rischiando di esser linciato dai verdi locali.

Piazzo un fucile orizzontale (filo a piombo perfettamente verticale, perbacco!) su un solido treppiede, a 1 m dal suolo, orientandolo con elevatissima precisione a 90 gradi rispetto al meridiano, verso E.
La terra è ancora ferma, i verdi incalzano, insieme ai contadini coi forconi.
Sparo con una velocità di 330 m/s.
Mando un assistente a prender nota del punto d'impatto col terreno; ne rileverà la latitudine e la longitudine.

Con un secondo magistrale colpo di bacchetta magica, rimetto a posto la terra come sarebbe stata se non l'avessi fermata.
prendo nota di dove è arrivato il fucile per effetto della rotazione, e me la do a gambe abbandonando treppiede, fucile, filo a piombo, livella e teodolite.

Ho infiorato un po' la storia: in effetti la terra è stata ferma solo per la durata dello sparo, circa mezzo secondo, e i verdi, a tavola a mangiare "pisarei e faso'" non si sono accorti di niente; solo un cane ha ululato lugubremente.

Morale: dopo, a tavolino, in base alle misure prese, disegno in pianta il punto di impatto RELATIVAMENTE al punto di partenza "da fermo"; poi mi viene un' idea e ridisegno, stavolta RELATIVAMENTE al punto di partenza "rimesso a posto".
Cosa trovo?

tony

*Edited by - tony on 06/11/2003 18:58:44

da **WonderP** » 07/11/2003, 14:06

Per ora posso dirti che il fucile l’avrei tenuto, non si sa mai e contro dei forconi lo trovo utile. Comunque vuoi sapere che differenze ci sono nei punti di impatto? Ci penso un po’ (ora non ho tempo) e domani provo a risponderti.

WonderP.

da **WonderP** » 07/11/2003, 21:11

TERRA FERMA

L’unica forza che agisce è la forza di gravità. Un oggetto che cade da un metro impiega t = (2h/g)^1/2 = 0,4515 secondi, nello stesso tempo orizzontalmente, andando ad una velocità di 330 m/s, percorre 149 metri verso est (non c’è spostamento lungo il meridiano).

TERRA IN ROTAZIONE

Qui le cose si complicano. Impongo per comodità che il moto dovuto alle forza centrifughe e all’accelerazione di Coriolis siano indipendenti, scompongo inoltre il moto del proiettile (quello con la terra ferma e i verdi adirati) in verticale uniformemente accelerato (presente anche in “palle cadenti”) e in uno lungo un parallelo a velocità costante (nuova componente)

Lo spostamento dovuto all’accelerazione centrifuga non è influenzato dalla nuova componente (perché la latitudine non varia), quindi la traslazione verso l’equatore è sempre di 1,725 mm.

Contributo di Coriolis (che i verdi se la prendano con lui visto che è la causa di tutto)
Lo spostamento dovuto al moto verticale lo abbiamo già calcolato ed è 0,016 mm.
Calcoliamo ora quello dovuto al moto uniforme lungo il parallelo
x = 0,5 a t^2 = w * v * 2h/g = 4,905 mm
w e v sono ortogonali tra loro.

Lo spostamento totale risulta essere di 1,725 mm verso l’equatore e 4,921 mm verso est.

WonderP.

da **tony** » 08/11/2003, 01:09

Grazie WonderP, di interessarti al problema.
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TERRA FERMA
L'unica forza che agisce è la forza di gravità. Un oggetto che cade da un metro impiega t = (2h/g)^1/2 = 0,4515 secondi, nello stesso tempo orizzontalmente, andando ad una velocità di 330 m/s, percorre 149 metri verso est (non c'è spostamento lungo il meridiano).
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Secondo me il proiettile non puo' andare lungo il parallelo, che è in curva verso sinistra!; va lungo il cerchio max tangente al parallelo nel punto di partenza, e perciò scende lungo il meridiano verso l'equatore; se non ci fosse la gravità (sempre a TERRA FERMA) se ne andrebbe in linea retta lungo quella tangente, che è l'intersezione del piano del parallelo e di quello del cerchio max.
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TERRA IN ROTAZIONE
...
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Scusa, non mi ero spiegato, mi dispiace tu abbia fatto calcoli inutili: dicevo che durante la traiettoria del proiettile la terra NON ruota; la sposto di colpo solo DOPO che il proiettile è caduto.
Vediamola così:
- prendo un mappamondo FERMO; segno con la matita il punto P0;
- di lì con un micro-fucile sparo la pallina; segno con la matita il punto di impatto P1 (che, ovviamente, è quello dell'esperimento a "terra ferma");
- alzo, ma non troppo, la matita, badando a non spostarla;
- giro il mappamondo di quanto l'avrebbe fatto girare madre natura nel tempo della caduta del proiettile;
- FERMO il mappamondo e abbasso la matita, segnando il punto P2;
- poi, a tavolino, misuro sul mappamondo le distanze P0-P1 (che è quella a "terra ferma") e P0-P2 (che è quella a "terra mossa").

La mia domanda per la "terra mossa" era di carattere geometrico, non fisico; non ci sono forze centrifughe nè altre diavolerie francesi.

Ciao
Tony

*Edited by - tony on 08/11/2003 01:30:58

da **WonderP** » 08/11/2003, 13:35

Allora non ho capito per nulla il problema. A terra ferma la gravità rimane, e la forza di gravità è radiale, cioè posso immaginare di essere su un piano con una forza sempre ortogonale al piano stesso. Quindi se sparo verso una direzione (est) non c’è motivo che questa vari (se non per il fatto che la pallottola cade perché attratta dal terreno), quindi non ho afferrato il motivo del fatto che il proiettile debba seguire il cerchio massimo e dirigersi verso sud-est.
Se risolvo questo dilemma posso continuare con il problema.
Grazie a te di averlo proposto, fa sempre piacere discutere con persone colte.

WonderP.

da **MaMo** » 08/11/2003, 16:34

Problema interessante.
Nel caso della terra ferma il proiettile percorre un arco di cerchio massimo di lunghezza l = 149 metri.
Da calcoli puramente geometrici ed utilizzando le dovute approssimazione ( essendo l << R) ho ricavato la seguente formula:
d = l^2/(2R)= 1,74 mm.
Il proiettile cioè cade a 1,74 mm dal 45° parallelo verso l'equatore.
Se ho capito bene nel caso della terra in movimento il proiettile non è solidale con il moto di rotazione della terra.
Quindi la distanza percorsa dal proiettile è data dalla differenza tra la distanza percorsa dalla terra durante il tempo di volo e quella percorsa dal proiettile.
Dai miei calcoli, un po' affrettati, nel tempo di 0,4515 s, la terra, lungo il 45° parallelo percorre circa 148 metri verso Est quindi il proiettile atterrerà ad una distanza di circa 1 metro verso Est dal punto di partenza.
Spero di non aver detto troppe .......<img src=icon_smile_question.gif border=0 align=middle>

da **WonderP** » 09/11/2003, 09:44

Ora ho capito capito il problema con la terra ferma.
Con la terra in movimento ho fatto questi calcoli tornano con quelli di MaMo.
Raggio della terra R = 6,37 * 10^6
Velocità angolare di rotazione w =7,29 * 10^-5 (visto nel precedente post)
Velocità di un punto P v(P) = w (R+h) cosß (h trascurabile e ß latitudine)
v = 328 m/s
x = v t = 148 m

da **tony** » 10/11/2003, 04:22

Ci stiamo arrivando! concordo col calcolo di MaMo per 1,74 mm di spostam. verso l'equatore.
Per render più preciso il calcolo della latitudine del punto d'impatto [che tende ad andare al caldo verso l'equatore (ma con fucile speciale per lunga gittata potrebbe anche superarlo)], svincolandolo dalle approssimazioni per h << R, disegno e risolvo il triangolo sferico del poligono di tiro come segue:

siano:
P0 = punto di lancio:
q = latitud. di P0
longit. di P0 = 0
b = arco di meridiano ta P0 e il polo N, = 90 - q
P1, punto d'impatto:
a = arco di meridiano ta P1 e il polo N
Cgrande = angolo al polo tra i meridiani di P0 e P1 = longit. di P1
c = arco di cerchio max tra P0 e P1 (= gittata)
Agrande = angolo in P0 tra meridiano e direz. di sparo (= 90 in questo problema facilitato)
Bgrande = angolo in P1 tra meridiano e cerchio max traiettoria (qui non serve)
deltaq = a - b = abbassamento di latit. di P1

Noti la latit. q di P0 e la gittata c, trovare la colatitud. a e la longitud. Cgrande di P1

annoto qui le semplici formule per la soluzione del triangolo rettangolo in Agrande (non si creda che le ricordassi, sapevo solo che erano sul Boari):
a = acos(cos(b)*cos(c))
Cgrande = atn(tan(c)/sin(b))
Funzionano, anche se, vicinissimo al polo, perdono ahimè di precisione [e il tempo che ci ho perso è stato infruttuoso (ridondanza)].

Per quanto riguarda la lunghezza della gittata e il tempo di volo siamo vicini ai risultati di MaMo, ma, osservo, è necessaria una precisione molto più alta, perchè dalla gittata andrà sottratta la distanza dello spostam. della terra, e, secondo me, sono quasi ugualissime.
A questo proposito WonderP in un bel post su 'palle cadenti' ha appena fatto un accurato lavoro che tien conto anche delle variazioni dell'accelerazione; perchè non usarlo qui?

Io vado avanti su un lavoro per calcolare in altro modo questi due risultati.
ciao da Tony

* ERRATA CORRIGE *
avevo omesso una frase rendendo ingiustificabile l'affermazione successiva. Invece di
"secondo me, sono quasi ugualissime."
si legga
"secondo me, se la v0 del proiettile è quella della terra nel punto p0 ad altezza h, sono quasi ugualissime."
* FINE ERRATA CORRIGE *

*Edited by - tony on 10/11/2003 04:41:43

*Edited by - tony on 10/11/2003 15:48:27

da **WonderP** » 10/11/2003, 09:40

Tony, non capisco dove tu voglia arrivare. La gittata e lo spazio percorso dalla terra nello stesso tempo sono simili solo perché la velocità iniziale del proiettile e la velocità di traslazione della terra a 45° sono simili. 330 m/s il proiettile, 4,64 * 10^2 cosß (ß = 45°) = 328 m/s.
Qual è il tuo obiettivo?

WonderP.

da **tony** » 10/11/2003, 15:54

grazie della segnalazione, avevo omesso una frase; ora l'ho inserita in "errata corrige" nel msg. originale.
Tony

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